Demuestre que el disco-álgebra, equipado con la involución $f^*(z) = \overline {f(\overline z)}$ es una álgebra de Banach-*.

Question

Estoy trabajando a partir de los "Principios del Análisis Armónico" de Anton Deitmar y en uno de los ejercicios pide demostrar que el disco-álgebra, dotado de la involución $$f^*(z) = \overline {f(\overline z)}$$ es una álgebra de Banach-*. He hecho la otra parte de la pregunta pero no estoy seguro de cómo abordaría esta sección.

La parte en la que estoy atascado es la siguiente:

$||f||=sup\{|f(z)|\ \Big|z\in\mathbb D\}$

$||f^*||=sup\{|f^*(z)|\ \Big|z\in\mathbb D\}=sup\{|\overline {f(\overline z)}|\ \Big|z\in\mathbb D\}$

Así que supongo que quiero mostrar que $sup\{|f(z)|\ \Big|z\in\mathbb D\}=sup\{|\overline {f(\overline z)}|\ \Big|z\in\mathbb D\}$ lo cual me parece obvio, pero no veo por qué.

Answer 1

Sólo hay que tener en cuenta que si $w=\overline{z}$ entonces $|f(z)|=|\overline{f(z)}|=|\overline{f(\overline{w})}|$ . Por tanto, el conjunto de valores posibles de $|f(z)|$ es exactamente igual al conjunto de valores posibles de $|\overline{f(\overline{z})}|$ .