Tengo una duda, en un espacio de Hilbert se sabe que si tengo $ \{x_k\}_{k=1}^n$ vectores en un espacio finito y estos n elementos son ortogonales entonces son linealmente independientes. ¿Es cierto para un espacio de dimensión infinita cuando si $(x_k, x)=0$ $\implies $ $x=0$ ?
Respuesta
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Es evidente que el espacio es un espacio del producto interior , digamos que $H$ y que los vectores dados, digamos $\{e_k\}_{k\in I}$ para algún conjunto infinito de indexación $I$ son mutuamente ortogonal. Para ello, entonces sí es cierto que $H$ es de dimensión infinita ( lo que, sin embargo, es generalmente no es cierto -en contraste con la $n$ -es que $H=span\{\hat{e}_k\}_{k\in I}$ , donde $\hat{e}_k$ es el vector unitario en la dirección de $e_k$ incluso $span\{\hat{e}_k\}_{k\in I}$ puede no ser isomorfo a $H$ .)
