Solución acotada para una ecuación parabólica

Question

Dejemos que $\Omega_T=(0,T) \times \Omega$ , donde $\Omega$ un dominio liso acotado de $\mathbb{R}^n$ y $T>0$ . Sea $a\in L^\infty(\Omega)$ y considerar la ecuación del calor $$u_t=\Delta u + a(x)u, \;\; (t,x)\in \Omega_T ,$$ $$u|_{\partial \Omega}=0,$$ $$u(0,\cdot)=u_0.$$ Supongamos que la condición inicial $u_0 \in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega) \cap L^\infty(\Omega)$ ¿podemos demostrar que la solución $u$ es tal que $u_t \in L^\infty(\Omega_T)$ ?

He encontrado algunos resultados antiguos que utilizan mucho de la regularidad en $a$ y $u_0$ basado en principios máximos. ¿Hay alguna otra forma de demostrar estos resultados bajo supuestos más débiles? Gracias.

Answer 1

Para la ecuación del calor $Lu=u_t-\Delta u=0$ para garantizar la acotación de $u_t$ como $t$ tiende a cero hay que exigir más regularidad a la función inicial, por ejemplo $u_0\in C^{1,1}(\bar\Omega)$ (las derivadas de primer orden son uniformemente Lipschitz en $\Omega$ ).

En cuanto al término de bajo orden, diferenciando wrt $t$ tenemos que $u_t$ satisface la misma ecuación. Por lo tanto, si $u_0,\Delta u_0\in L_\infty(\Omega)$ entonces $u_t|_{t=0}\in L_\infty(\Omega)$ y $u_t$ está acotado.

Denote $a_0=\|a\|_{L_\infty(\Omega)}$ y $v(t)=\|u\|_{L_\infty(\Omega_t)}$ . Para la primera BVP $u_t-\Delta u=f$ , $u|_{t=0}=u_0$ con condición de contorno cero se deduce que $$ v(t)\le t a_0 v(t)+\|u_0\|_{L_\infty(\Omega)}. $$ Desde aquí para $T_0=1/(2a_0)$ se deduce que $v(T_0)\le 2\|u_0\|_{L_\infty(\Omega)}$ . Para la arbitrariedad $T$ la estimación $v(T)\le C\|u_0\|_{L_\infty(\Omega)}$ se desprende del argumento paso a paso, donde $C$ depende de $T$ así como en $a_0$ . Para la derivada da la estimación $$ \|u_t\|_{L_\infty(\Omega_T)}\le C(T,a_0)(\|u_0\|_{L_\infty(\Omega)}+\|\Delta u_0\|_{L_\infty(\Omega)}). $$