Probabilidad de Durrett: Teorema 6.2.6

Question

Tengo algunas dificultades para entender el concepto de medida de preservación , invarianza y ergódico .

He aquí una demostración del teorema 6.2.6 de Durrett Probabilidad: Teoría y Ejemplos, 5e (p.338) (disponible en https://services.math.duke.edu/~rtd/PTE/pte.html ), que establece que Si A = [a, b), entonces el conjunto excepcional es $\emptyset$ . Aquí el $\varphi$ es una transformación que preserva la medida, y $A_k = [a + 1/k, b-1/k)$ .

Estoy tratando de entender dos puntos:

1. ¿Por qué tenemos que demostrar que $G$ es denso en $[0, 1)$ ?
2. ¿Por qué $\varphi^m \omega_k \in A_k$ implica $\varphi^m x \in A$ si $x \in [0, 1)$ , $\omega_k \in G$ con $|\omega_k - x| < 1/k$ ? Mi opinión es que esto tiene que ver con la propiedad de preservación de la medida de $\varphi$ o la invariabilidad de $A$ o $A_k$ (si es que lo son), pero no estoy seguro de dónde y cómo se utilizaron exactamente estos conceptos en este contexto.

Muchas gracias.

Answer 1

En este caso $\varphi:[0,1[\to[0,1[$ es una rotación irracional.

1. El Teorema Ergódico de Birkhoff dice que los promedios de tiempo con casi cualquier La condición inicial puede cambiarse con los promedios espaciales. Aquí la afirmación es que los promedios temporales con cualquier La condición inicial puede ser cambiada con promedios espaciales, es decir, el conjunto excepcional es realmente vacío. Esto es necesario porque el Teorema Ergódico de Birkhoff no garantiza a priori que para la condición inicial $0$ el enunciado se mantiene, que es el contenido del "resultado de la teoría de los números" Teorema de Equidistribución de Weyl. (El hecho de que las rotaciones irracionales sean únicamente ergódicas también es relevante para esta discusión; véase Invariancia topológica de la ergodicidad única .)

2. Esto tiene que ver con $\varphi$ siendo la preservación de la longitud, en lugar de la preservación de la medida. Si $\omega_k$ está dentro de un $1/k$ distancia a $x$ entonces para cualquier $n$ $\varphi^n(\omega_k)$ estará dentro de un $1/k$ distancia a $\varphi^n(x)$ .

Answer 2

$\phi$ no es ninguna función invariante con respecto a la medida de Lebesgue sobre $[0,1)$ sino una traducción: $$\phi(x)=x+\theta\mod1$$ para algunos $\theta\in[0,1)$ .

1. No es que haya que demostrar que $G$ es denso. La estrategia que estableció Rick Durrett es construir primero un conjunto $G$ que es grande (medida completa) en $[0,1)$ donde el resultado del teorema ergódico se cumple para cada intervalo abierto $A_k=(a+1/k,b-1/k)$ en cualquier punto de $G$ $(k>2/(b-a), k\in\mathbb{N}$ . El hecho de que $P[G]=1$ implica que $G$ es denso en $[0,\infty)$ (de lo contrario, hay un punto $x\in [0,1)$ y un barrio $V$ de $x$ en $[0,1)$ de radio $\delta>0$ tal que $V\cap G=\emptyset$ . Esto implicaría que $P[G]=P[G\cap V]+P[G\setminus V]\leq 1-\varepsilon<1$ , contradiciendo el hecho de que $P[G]=1$ .

El resto de la prueba consiste en dejar que los promedios ergódicos operen sobre puntos en $[0,1)\setminus G$ . Como $G$ es denso, se obtiene casi lo mismo que operando sobre puntos en $G$ .

2. Para todos $k>\frac{2}{b-a}$ set $A_k=(a+1/k,b-1/k)$ . Si $x\in [0,1)\setminus G$ por densidad, hay puntos $\omega_k\in G$ tal que $|x-\omega_k|<\frac1k$ . Desde $S_n\mathbb{1}_{A_k}(\omega_k)\xrightarrow{n\rightarrow\infty}b-a-\frac1k$ hay infinitos $m$ de tal manera que $\mathbb{1}_{A_k}(\phi^m(\omega_k))=1$ es decir $\phi^{m}(\omega_k)\in A_k$ . Observe que $|\phi^m(x)-\phi^m(\omega_k)|=|x+m\theta-\omega_k-m\theta|=|x-\omega_k|<\frac1k$ y así, $\phi^{m}(x)\in[a,b)$ .