¿La igualdad de los coeficientes de la regresión lineal de X sobre Y y de Y sobre X implica la coincidencia de las líneas?

Question

Supongamos que consideramos el modelo sin intercepción $\hat{y_i} = x_i\hat{\beta}$ . Por lo tanto, la fórmula para $\hat{\beta}$ es $\frac{ \sum\limits_{i=1}^n x_i y_i}{\sum\limits_{j=1}^n x_j^2}$ . Sé que $\hat{\beta}_{XY}$ = $\hat{\beta}_{XY}$ si y sólo si $ \sum\limits_{j=1}^n x_j^2 = \sum\limits_{j=1}^n y_j^2$ (Aquí, $\beta_{XY}$ significa el coeficiente de regresión de $X$ en $Y$ ). Si algunos de los cuadrados son efectivamente iguales, tenemos que $\hat{\beta}_{XY}$ = $\hat{\beta}_{XY}$ Sin embargo, no entiendo si implica la coincidencia de las líneas.

Answer 1

No. Supongamos que la pendiente es $\sqrt{3}$ . Como puede ver, las líneas $y = \sqrt{3}x$ y $x = \sqrt{3}y$ no coinciden.