Encuentra los números racionales $n$ tales que $3n^3 + 10n^2 - 3n$ sea un entero.

Question

Sea $n=b/a, \gcd(a,b)=1$, entonces $3n^3+10n^2-3n=(3b^3+10b^2a-3ba^2)/a^3$ es un entero. Pero no sé cuál es el siguiente paso, ¿alguien puede darme alguna pista, por favor? Muchas gracias.

Answer 1

Escribe: $$3b^3+10b^2a-3ba^2=a^3c$$ donde $c$ es un número entero. Desde aquí obtenemos $$a(a^2c-10b^2+3ab)= 3b^3 \implies a\mid 3b^3\implies a\mid 3$$

Puedes asumir que $a$ es natural, entonces $a=1$ o $a=3$.

• $a=3$ obtenemos $$b^3+10b^2-9b =9c\implies 9\mid b^2(b+1)$$ Dado que $\gcd(b,b+1)=1$ tenemos $3\mid b$ o $9\mid b+1$

Dado que $a=3$ entonces $3$ no divide a $b$, por lo tanto tenemos $b=9d-1$ para algún entero $d$ y así

$$x ={9d-1\over 3}$$

• $a=1$ entonces $b$ puede ser cualquier entero.