Encuentra los números racionales $n$ tal que $3n^3 + 10n^2 - 3n$ es un número entero.

Question

Dejemos que $n=b/a, \gcd(a,b)=1$ entonces $3n^3+10n^2-3n=(3b^3+10b^2a-3ba^2)/a^3$ es un int. Pero no sé cuál es el siguiente paso, ¿puede alguien dar alguna pista por favor? Muchas gracias.

Answer 1

Escribe: $$3b^3+10b^2a-3ba^2=a^3c$$ donde $c$ entero. De aquí obtenemos $$a(a^2c-10b^2+3ab)= 3b^3 \implies a\mid 3b^3\implies a\mid 3$$

Puede suponer que $a$ es natural, así que $a=1$ o $a=3$ .

• $a=3$ obtenemos $$b^3+10b^2-9b =9c\implies 9\mid b^2(b+1)$$ Desde $\gcd(b,b+1)=1$ tenemos $3\mid b$ o $9\mid b+1$

Desde $a=3$ entonces $3$ no divide $b$ por lo que tenemos $b=9d-1$ para algún número entero $d$ y por lo tanto

$$x ={9d-1\over 3}$$

• $a=1$ entonces $b$ puede ser cualquier número entero.