Coordenadas generalizadas

Question

Estoy trabajando en un proyecto científico para mi universidad y estoy leyendo un artículo alemán (Karas: "Platten unter seitlichem Stoß") que hace uso de coordenadas generalizadas.

Se trata de una solución analítica del impacto de una bola en un plato.

En algún momento, define la energía potencial de la placa $(a,b)$ como:

$$\tag{m,n = 1,2,3,...}V = ... \sum_m \sum_n q_{mn}^2 \left(\frac{m^2}{a^2} + \frac{n^2}{b^2} \right)^2$$

Así como la energía cinética:

$$T = ... \sum_m \sum_n \dot{q}_{mn}^2$$

No explica lo que el $q$ significa. Parece ser una especie de coordenada generalizada, pero al buscar esto en la web yo mismo, no encontré una buena explicación.

Así que mi pregunta es:

¿Qué hace $q_{mn}$ ¿quieres decir? ¿Por qué puede $m,n$ ¿se puede sustituir por cualquier número positivo? ¿Cómo podría pensar en la coordenada como uno en la placa? ¿Es igual a la desviación?

Answer 1

El $q_{nm}$ son las amplitudes de los modos normales de vibración de la placa con lados $2\pi a$ , $2\pi b$ . Utiliza la ecuación de onda de placa habitual $$ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}= D \left(\frac{\partial^2 y}{\partial t^x}+\frac{\partial^2 y}{\partial z^2}\right)^2 $$ y ampliando el desplazamiento como $$ y(x,y,t)= \sum_{n,m} q_{n,m}(t) \cos (mx/a)\cos (ny/b) $$

Answer 2

Creo que aquí q denota una coordenada de posición. Existe una forma particular de potencial en la que funciona la dinámica de la bola. Puede ser que, $q_{mn}$ determina la posición del $m^{\text{th}}$ partícula de la bola con respecto a la $n^{\text{th}}$ de la placa. Al principio, la energía potencial total de la $m^{\text{th}}$ partícula de la bola debido a su interacción con todas y cada una de las partículas de la placa se calcula; así es como el $\sum_{n}$ viene. A continuación se calcula la energía potencial de toda la bola sumando las energías potenciales de cada una de esas partículas de la bola; así se $\sum_{m}$ viene. Sin embargo, como tanto la bola como la placa tienen una distribución de masa continua, las sumas deben sustituirse por integrales.

${\dot q}_{mn}$ define la velocidad del $m^{\text{th}}$ partícula de la bola con respecto a la $n^{\text{th}}$ partícula de la placa. Al calcular la energía cinética, los sumatorios aparecen siguiendo un argumento similar al del párrafo anterior y, según parece, también deben ser sustituidos por integrales.

Sin embargo, no conozco el contexto exacto de su pregunta. Esto es lo que he sacado en claro.