Topología y métrica del taxi

Question

Dejemos que $A \subset \mathbb{R^k}$ Demuestre que A es abierto si y sólo si es abierto bajo la "métrica del taxi" $d_{1}(x,y):=\sum_{j=1}^k|x_{j}-y{j}|. $

Pude encontrarlo porque $d_1(x,y)=\sum|x_j-y_j| $ si tomo el cuadrado $d_1^2(x,y)=(\sum|x_j-y_j|)^2 $ . Si tomo el cuadrado de la distancia euclidiana tengo $ d^2(x,y)=\sum|x_j-y_j|^2 $ y porque las distancias son siempre $\geq0$ Tengo eso $\sum |x_j-y_j|^2\leq (\sum|x_j-y_j|)^2$ y por lo tanto $d(x,y)\leq d_1(x,y)$ . No sé cómo demostrar lo contrario, es decir, demostrar que si A es abierto bajo la métrica euclidiana, entonces también lo es bajo la métrica del taxi.

Answer 1

Ampliando el comentario de Daniel Fisher, tenemos: $$\sum_{j=1}^n |x_j|\leq \sqrt{n}\cdot\sqrt{\sum_{j=1}^{n}|x_j|^2}\tag{1}$$ en virtud de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, mientras que $$\left(\sum_{j=1}^{n}|x_j|\right)^2 \geq \sum_{j=1}^{n}|x_j|^2\tag{2}$$ es trivial. $(1)$ y $(2)$ dar que un balón con respecto a la $\ell_1$ -contiene una bola con respecto a la $\ell_2$ -que contiene una bola más pequeña con respecto a la $\ell_1$ -norma y así sucesivamente. Así que las dos topologías inducidas por el $\ell_1$ y $\ell_2$ son equivalentes.