Encontrar el mayor $c\in\mathbb{R}$ tal que $|\alpha|>c$ donde $\alpha$ es la raíz del polinomio

Question

Encuentre el mayor $c\in\mathbb{R}$ (o demostrar que no existe) tal que si $\alpha$ es el cero del polinomio $$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0$$ donde $a_0,a_1,\dots,a_n\in\mathbb{C}$ y $n\in\mathbb{N}$ y $|a_0|=|a_1|=\dots=|a_n|>0$ entonces $|\alpha|>c$ .

Primero traté de factorizar alguna constante en este polinomio. Debido a $|a_0|=|a_1|=\dots=|a_n|>0$ tenemos $$P(x)=k\left({e^{ib_n}x^n+e^{ib_{n-1}}x^{n-1}+\dots+e^{ib_1}x+e^{ib_0}}\right)$$ para algunos $k\in\mathbb{R}$ y $b_0,b_1,\dots,b_{n-1},b_n\in\mathbb{R}$ . Entonces $$|P(x)|=|k|\cdot\left|{e^{ib_n}x^n+e^{ib_{n-1}}x^{n-1}+\dots+e^{ib_1}x+e^{ib_0}}\right|\le|k|\left({\left|{e^{ib_n}x^n}\right|+\left|{e^{ib_{n-1}}x^{n-1}}\right|+\dots+\left|{e^{ib_1}x}\right|+\left|{e^{ib_0}}\right|}\right)=|k|\dfrac{|x|^{n+1}-1}{|x|-1}$$ ¿Y ahora qué? ¿Puede esta desigualdad ayudarme a resolver esto? ¿Cuál es la forma más fácil de resolver este problema?

Answer 1

Sin pérdida de generalidad se puede suponer que $$ P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+ 1 $$ y $$ |a_1|=\dots=|a_n| = 1 \quad . $$ Si $P(\alpha) = 0$ entonces con $r := |\alpha|$ $$ 1 = | a_n \alpha^n+a_{n-1} \alpha^{n-1}+\dots+a_1 \alpha | \le r^n+ r^{n-1}+\dots + r $$

Definir $q(x) := x^n + x^{n-1} + \dots + x - 1$ . Es fácil ver que $q(1/2) < 0$ .

$q$ es estrictamente creciente en $[0, \infty)$ y $q(r) \ge 0$ . De ello se desprende que $r > 1/2$ Así que $P(\alpha) = 0$ implica $ |\alpha| > 1/2$ es decir $c = 1/2$ es una solución a su problema.

Elección de $$ P(x) = q(x) = \frac{2x - 1 - x^{n+1}}{1-x} $$ muestra que para grandes $n$ un cero arbitrariamente cercano a $1/2$ existe, por lo que $c=1/2$ es la mayor solución posible.