Demostrar que si $A$ es una matriz cuadrada tal que $A^4$ = $0$ entonces las matrices $A - I $ y $A^3 + A^2 + A + I$ son inversos entre sí.

Question

Edición: Tomé esta pregunta de un examen antiguo, así que, como otros sugirieron, puede haber un error tipográfico en el enunciado.

Por favor, alguien puede revisar mi prueba/álgebra matricial porque la he repasado varias veces y no veo en qué me he equivocado.

Debemos demostrar que

$(A-I)(A^3+A^2+A+I) = I $

Distribuyendo obtenemos,

$AA^3 + AA^2 + AA + AI -IA^3 -IA^2 -IA -II = I $

$A^4 + A^3 + A^2 + A -A^3 -A^2 -A -I = I$

$ 0 - I = I$

$-I = I$

Obviamente $ -I \neq I$ así que si alguien puede decirme en qué me he equivocado se lo agradecería mucho.

Answer 1

Su cálculo es correcto. Tenemos $$-I = A^4 - I = (A - I)(A^3 + A^2 + A + I).$$ Así que $I - A$ y $A^3 + A^2 + A + I$ son inversos entre sí.

Answer 2

No creo que esta afirmación sea cierta. Si se conecta $A = 0$ entonces $-I$ es la inversa de $I$ . Este es un contraejemplo válido para refutarlo.

Pero puede que se mantenga si cambias $A - I$ a $I - A$ .

Answer 3

Así que tienes la idea correcta, pero me gustaría realmente abstenerse de poner $=I$ en el lado derecho. Se trata de demostrar (o no) que es la identidad. Ponerlo a la derecha sólo lo hace un poco confuso y puede despistar fácilmente. Así que sin eso tienes:

\begin{align} (A-I)(A^3 + A^2 + A + I) = A^4 + A^3 + A^2 + A - A^3 - A^2 - A - I = -I\end{align}

como has mostrado. Definitivamente es incorrecto y hay un error tipográfico. Mi opinión es que querían decir $I-A$ .