Demostración de la independencia de los axiomas mediante la exhibición de modelos que no satisfacen nuestra intuición

Question

Hace poco vi la prueba de la independencia de ZF (con la posibilidad de múltiples conjuntos vacíos) y AC. La prueba construyó el modelo basado en una teoría de conjuntos generada por infinitos conjuntos vacíos y luego restringió este modelo a aquellos con una base finita hereditaria (HFB). Sin embargo, este modelo no parecía ajustarse a mi intuición sobre la teoría de conjuntos. Más bien, parecía una construcción impar que es no lo que considero la teoría de conjuntos, pero que de hecho satisface formalmente todos los axiomas de ZF así como la negación de AC. Aunque hayamos demostrado que los axiomas de ZF no implican elección, no me siento en absoluto convencido de que AC no tenga que ser verdadera en la teoría de conjuntos. Más bien, aunque lo que voy a decir es impreciso, creo que en cualquier modelo de teoría de conjuntos que se parezca realmente a nuestra noción intuitiva de teoría de conjuntos, AC debería ser verdadera.

Del mismo modo, en este tema se construyó un modelo de aritmética (sin inducción) en el que $\pi$ es racional. Sin embargo, conozco muy bien los números enteros, y aunque este modelo satisfacía los axiomas de los números enteros, estaba claro que no eran los números enteros.

Mi pregunta es, siento que con mi de estas pruebas de independencia, si usted identifica precisamente la noción de la que estamos hablando (como los enteros, la teoría de conjuntos), entonces estos modelos patológicos no existen. Tal vez signifique que estos axiomas no son suficientes, ¿existen mejores conjuntos de axiomas? ¿O tal vez significa que deberíamos centrarnos en modelos particulares en lugar de en teorías en general (como en una filosofía diferente de hacer lógica matemática)? Estoy tratando de entender si hay una manera de precisar las cosas de manera que cualquier prueba de independencia que hagamos muestre realmente que algo es independiente de la cosa real que estamos considerando (no un conjunto de axiomas que resulta que se ajustan a esa cosa). Esto está guiado en parte por la intuición de que si realmente sabemos de qué objeto matemático (o colección de objetos) estamos hablando, entonces, en cierto sentido, cualquier afirmación debería ser simplemente verdadera o falsa.

Answer 1

Estoy de acuerdo en que "si se identifica con precisión la noción de la que hablamos (como los enteros, la teoría de conjuntos), entonces estos modelos patológicos no existen". El problema es que no es tan fácil identificar con precisión esas estructuras.

El enfoque habitual para identificar con precisión una estructura es escribir sus propiedades esenciales, los axiomas que la rigen. Para hacer uso de dichos axiomas, necesitamos deducir consecuencias de los mismos, y aquí nos encontramos con un dilema. Por un lado, existe una noción perfectamente clara de deducción lógica en el contexto de la lógica de primer orden. Por otro lado, el teorema de L "owenheim-Skolem-Tarski garantiza que, en el contexto de la lógica de primer orden, habrá modelos no previstos de los axiomas (siempre que el modelo previsto sea infinito). Así que la lógica de primer orden no consigue lo que se quiere.

Así que utilicemos la lógica de segundo (o mayor) orden insterad. (Aquí se puede cuantificar sobre subconjuntos de la estructura, y se supone que esas variables cuantificadas realmente abarcan todo subconjuntos, no sólo, digamos, definibles). Ahora las estructuras como los enteros y los reales se pueden especificar de forma única. Pero no existe un sistema deductivo completo para la lógica de segundo orden. (Más concretamente, el conjunto de oraciones válidas de segundo orden no es recursivamente enumerable). Además, el significado de los cuantificadores de segundo orden depende de la noción general de "conjunto", que es uno de los conceptos que esperábamos especificar con precisión.

Así que la conclusión, en mi opinión, es que, aunque queramos construir las matemáticas sobre la base de especificaciones únicas de las estructuras relevantes, simplemente no se puede hacer, al menos no si queremos que las especificaciones contengan información real sobre las estructuras (en lugar de decir simplemente "me refiero a los enteros genuinos, ya sabes") y ser capaces de deducir las consecuencias lógicas de esa información.

Answer 2

Te has topado con uno de los principales temas de la lógica contemporánea: la diferencia entre "verdad en el modelo estándar" y "demostrabilidad". Este es un tema extremadamente profundo, así que estoy seguro de que otras personas también tendrán algo que decir al respecto.

La dificultad de centrarse sólo en los modelos estándar en lugar de en las teorías en general es que, esencialmente, la única manera de convencer a otra persona de que el modelo estándar tiene alguna propiedad es demostrarlo, y entonces vuelves al problema de elegir los axiomas. Por ejemplo, la razón por la que sabes que π es trascendental es porque reconoces ciertos axiomas que son verdaderos en el modelo estándar y que te permiten demostrar que π es trascendental. Si otra persona no creyera ya que π es trascendental, intentarías convencerla haciendo que aceptara los axiomas que has utilizado para demostrarlo.

En algunos casos, podemos hacer un conjunto de axiomas que describa completamente un modelo estándar. Por ejemplo, existen axiomatizaciones completas de la geometría euclidiana, que permiten demostrar cualquier afirmación en el lenguaje de la geometría que sea verdadera sobre el modelo estándar del plano euclidiano y refutar cualquier afirmación falsa sobre él.

Pero para otros modelos, como el modelo estándar de los números naturales, hay teoremas que demuestran que nunca podremos encontrar una axiomatización efectiva, completa y consistente. Los sistemas axiomáticos que utilizamos para estudiar estos modelos se denominan "esencialmente incompletos". Para estos modelos, no está claro en qué sentido se puede hacer que el concepto subyacente (por ejemplo, "número natural") sea lo suficientemente preciso como para eliminar los resultados de independencia.

Dicho esto, una buena propiedad de los modelos en la lógica clásica es que cualquier frase en el lenguaje del modelo es verdadera en el modelo o falsa en el modelo. Por tanto, no existe el concepto de independencia de un modelo. El inconveniente es que para modelos como los números naturales estándar, se necesitan sistemas de axiomas cada vez más fuertes para determinar más y más afirmaciones verdaderas sobre el modelo.