Espacio métrico completo ordenado linealmente

Question

¿Existe algún espacio métrico completo que no sea $R$ o subconjuntos de $R$ que está ordenado linealmente?

Answer 1

Sí. Deja que $X=\kappa\times\Bbb Z$ , donde $\kappa$ es un cardenal cualquiera, y sea $\preceq$ sea el orden lexicográfico en $X$ . La topología de orden en $X$ inducido por $\preceq$ es discreto, por lo que $X$ es completamente metrizable a través de la métrica

$$d(x,y)=\begin{cases}1,&\text{if }x\ne y\\0,&\text{if }x=y\;:\end{cases}$$

las secuencias de Cauchy son precisamente las secuencias que son eventualmente constantes. Como podemos tomar $\kappa>2^\omega$ El resultado es el siguiente.