Un ejemplo de álgebra de Azumaya que no es libre sobre su centro

Question

Azumaya definió originalmente un álgebra de Azumaya (a la que llamó álgebra propia máximamente central) como un álgebra A que es un módulo libre de rango finito sobre su centro Z tal que el mapa natural $$A\otimes_Z A^{\mathrm{op}}\to \mathrm{End}_Z(A)$$ es un isomorfismo. Las definiciones más modernas (por ejemplo, Knus, Quadratic and Hermitian Forms over Rings) sustituyen "libre" por "fielmente proyectiva". ¿Hay algún ejemplo de un álgebra que cumpla esta definición más amplia pero que no cumpla la original? Es decir, un álgebra de Azumaya que sea fielmente proyectiva pero que no sea libre como módulo sobre su centro. Si es posible, también me gustaría que el centro fuera un noetheriano $k$ -para algún campo algebraicamente cerrado $k$ .

Mejor aún sería algún método para producir muchos ejemplos de álgebras de Azumaya "por encargo", ¡pero eso es probablemente pedir demasiado!

Answer 1

Basta con encontrar un haz vectorial $E$ en una variedad afín $V$ tal que el haz vectorial $\mathcal{E}nd(E)$ es no trivial: entonces este haz vectorial da un álgebra de Azumaya no libre y proyectiva sobre $\mathcal{O}(V)$ . Este será el caso si alguna clase de Chern de $\mathcal{E}nd(E)$ , digamos que $c_2$ es no trivial en el grupo de Chow $CH^2(V)$ .

Tome $V:=\mathbb{P}^3\smallsetminus S$ , donde $S$ es una superficie lisa de grado $d\geq 4$ y tomar para $E$ la restricción de $\mathcal{O}_{\mathbb{P}}\oplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}}(1)$ . Un cálculo sencillo da como resultado $c_2(\mathcal{E}nd(E))=-h^2$ , donde $h$ es un hiperplano en $\mathbb{P}^3$ . Por otro lado tenemos una secuencia exacta $$CH^1(S) \xrightarrow{i_*} CH^2(\mathbb{P}^3)\rightarrow CH^2(V)\rightarrow 0$$ donde $i$ es la incrustación de $S$ en $\mathbb{P}^3$ . Si $S$ es general $CH^1(S)=\mathrm{Pic}(S)$ es generado por $i^*h$ tenemos $i_*i^*h=dh^2$ Por lo tanto $c_2(\mathcal{E}nd(E))$ es distinto de cero en $CH^2(V)\cong \mathbb{Z}/d$ .

Editar : En realidad, esto es más fácil en una dimensión más alta, donde se pueden utilizar las clases de Chern en la cohomología en lugar del grupo de Chow. Por ejemplo, si $V=\mathbb{P}^n\smallsetminus H$ , donde $n\geq 4$ y $H$ es una hipersuperficie lisa de grado $d>1$ entonces $c_2(\mathcal{E}nd(E))\neq 0$ en $H^4(V,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}/d\ $ para el mismo $E$ .