Prueba de que el complemento del conjunto de medida cero en $[0,1]$ es denso en $[0,1]$

Question

Como problema durante la introducción a la teoría de la medida, se me pide que demuestre lo siguiente.

Dejemos que $A \subset [0,1]$ tal que $A$ es medible con $\mu(A) = 0$ ( $\mu$ siendo la medida de Lebesgue). Demostrar que $A^c = [0,1] \setminus A$ es denso en $[0,1]$ .

Esto tiene un sentido intuitivo para mí $-$ desde $\mu(A) = 0$ , utilizando que $\mu(X) = \mu(X \cap A) + \mu(X \cap A^c)$ por cada $X \subseteq \mathbb{R}$ obtenemos $\mu([0,1]) = \mu(A) + \mu(A^c) = \{\mu(A)=0\} = \mu(A^c)$ . Así, $A^c$ tiene la misma medida que $[0,1]$ . Soy consciente de que esta no es la definición de $A^c$ siendo denso en $[0,1]$ sin embargo, y no sé cómo formalizar esta prueba.

Se agradecerá cualquier consejo.

Answer 1

Su comentario sugiere que debería revisar la definición de "denso".

Recordemos que $A^{c} \subseteq [0,1]$ es denso si y sólo si para cada $x \in [0,1]$ y cada $\delta > 0$ Hay un $b \in A^{c}$ tal que $b \in (x - \delta, x + \delta)$ .

Ahora demostramos $\mu(A) = 0$ implica $A^{c}$ es denso (con $\mu$ denotando la medida de Lebesgue). Supongamos que $x \in [0,1]$ es arbitraria y $\delta >0$ . Entonces $\mu((x - \delta,x + \delta)) = 2 \delta$ . Así, $\begin{align}\mu(A^{c} \cap (x - \delta, x + \delta))\\&= \mu((x - \delta,x + \delta)) - \mu(A \cap (x - \delta,x + \delta))\\& = \mu((x - \delta,x + \delta))\\& = 2 \delta \end{align}$ por aditividad de la medida y puesto que $\mu(A) = 0$ . Desde $A^{c} \cap (x -\delta,x + \delta)$ tiene medida positiva, es necesariamente no vacía. En particular, podemos elegir $b \in A^{c} \cap (x - \delta,x+\delta)$ .

Desde $x$ y $\delta$ eran arbitrarios, esto demuestra $A^{c}$ es denso en $[0,1]$ . $\qquad\blacksquare$

Answer 2

Si $A^c$ no es denso, entonces $\exists a\in\mathbb{R}$ $\colon$ $(a-\delta,a+\delta)$ no contiene ningún elemento $b$ de $A^c$ donde $b\ne a$ . Así que $(a-\delta,a+\delta)\setminus\{a\}\subset E$ .

$\begin{align}\text{But, } m^*((a-\delta,a+\delta)\setminus\{a\})&=m^*((a-\delta,a)\cup(a,a+\delta))\\&=m^*((a-\delta,a))+ m^*((a+\delta,a))\\&=2\delta \end{align}$

$\text{So, } m^*(A)\ge2\delta\implies m^*(A)\ne0 $

Así llegamos a una contradicción. $\qquad\blacksquare$