Si $f$ tiene un logaritmo en $D$ Llámalo $g$ , entonces podemos definir un $p^{\text{th}}$ raíz de $f$ a través de
$$h(z) = \exp \biggl(\frac{g(z)}{p}\biggr).\tag{1}$$
Por supuesto, en general $f$ no tendrá un logaritmo en $D$ pero podemos utilizar $(1)$ para construir un $p^{\text{th}}$ raíz de $f$ sin embargo. Por el teorema fundamental del cálculo, para un $\zeta \in D$ - el caso $D = \varnothing$ es trivial si no está prohibido - tenemos
$$g(z) = g(\zeta) + \int_{\zeta}^z g'(w)\,dw,$$
donde la integración se realiza sobre una trayectoria arbitraria (parcialmente suave) desde $\zeta$ a $z$ en $D$ . Desde $g$ es (hipotéticamente) un logaritmo de $f$ tenemos $g'(w) = \frac{f'(w)}{f(w)}$ y así podemos reescribir $(1)$ como
$$h(z) = C\cdot \exp \Biggl(\frac{1}{p} \int_{\zeta}^z \frac{f'(w)}{f(w)}\,dw\Biggr),\tag{2}$$
donde $C = e^{g(\zeta)}$ es un $p^{\text{th}}$ raíz de $f(\zeta)$ .
La fórmula $(2)$ no menciona el hipotético logaritmo $g$ más, así que si podemos demostrar que $(2)$ nos da una función bien definida, es decir, que
$$\exp \Biggl(\frac{1}{p}\int_{\zeta}^z \frac{f'(w)}{f(w)}\,dw\Biggr)\tag{$ \N - El brindis $}$$
no depende de la elección del camino de $\zeta$ a $z$ en $D$ sobre la que integramos, entonces $(2)$ definirá un $p^{\text{th}}$ raíz de $f$ en $D$ si $C$ se elige de manera que $C^p = f(\zeta)$ . Eso se verifica luego diferenciando:
\begin{align} \frac{d}{dz}\bigl(h(z)^p\cdot f(z)^{-1}\bigr) &= C^p\frac{d}{dz}\Biggl(\exp \biggl(\int_{\zeta}^z \frac{f'(w)}{f(w)}\,dw\biggr)\cdot f(z)^{-1}\Biggr)\\ &= C^p \exp\biggl(\int_{\zeta}^z \frac{f'(w)}{f(w)}\,dw\biggr) \frac{f'(z)}{f(z)}\cdot f(z)^{-1}\\ &\qquad + C^p\exp\biggl(\int_{\zeta}^z \frac{f'(w)}{f(w)}\,dw\biggr)\cdot\bigl(-f(z)^{-2}f'(z)\bigr)\\ &= 0, \end{align}
y como $h(\zeta)^p\cdot f(\zeta)^{-1} = 1$ se deduce que efectivamente $h(z)^p = f(z)$ en $D$ .
Por lo tanto, queda por demostrar que $(\ast)$ es una función holomorfa bien definida en $D$ . Si $\gamma_1$ y $\gamma_2$ son dos trayectorias suaves a trozos desde $\zeta$ a $z$ en $D$ , entonces la composición $\gamma := \gamma_1\cdot \gamma_2^{-1}$ es una trayectoria cerrada parcialmente suave en $D$ y, por tanto, por suposición
\begin{align} \frac{1}{p}\int_{\gamma_1} \frac{f'(w)}{f(w)}\,dw - \frac{1}{p}\int_{\gamma_2} \frac{f'(w)}{f(w)}\,dw &= \frac{1}{p}\int_{\gamma} \frac{f'(w)}{f(w)}\,dw\\ &= \frac{1}{p}\int_{\gamma} \sum_{k = 1}^n \frac{m_k}{w - z_k}\,dw\\ &= \frac{1}{p}\sum_{k = 1}^n m_k \int_{\gamma} \frac{dw}{w-z_k} \\ &= \frac{2\pi i}{p} \sum_{k = 1}^n m_k\, n(\gamma,z_k)\\ &\in 2\pi i \mathbb{Z}, \end{align}
así que
$$\exp \Biggl(\frac{1}{p}\int_{\gamma_1} \frac{f'(w)}{f(w)}\,dw\Biggr) = \exp \Biggl(\frac{1}{p}\int_{\gamma_2} \frac{f'(w)}{f(w)}\,dw\Biggr),$$
y de hecho $(\ast)$ es independiente de la elección del camino desde $\zeta$ a $z$ . En un disco pequeño $D_r(\zeta_0) \subset D$ podemos elegir una composición de una ruta fija de $\zeta$ a $\zeta_0$ con el segmento de línea recta de $\zeta_0$ a $z$ como nuestros caminos, y un argumento estándar muestra que $(\ast)$ es por tanto holomorfa en $D_r(\zeta_0)$ . Desde $\zeta_0 \in D$ fue arbitraria en el último argumento, $(\ast)$ es holomorfo en $D$ y por lo tanto $(2)$ nos da una rama de la $p^{\text{th}}$ raíz de $f$ .
Por el contrario, si una rama $h$ de la $p^{\text{th}}$ raíz de $f$ existe en $D$ y $\gamma$ es una trayectoria cerrada parcialmente suave en $D$ entonces
\begin{align} \sum_{k = 1}^n m_k\, n(\gamma,z_k) &= \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma} \frac{f'(w)}{f(w)}\,dw \\ &= \frac{p}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{h'(w)}{h(w)}\,dw\\ &= p\, n(h\circ\gamma,0)\\ &\in p\mathbb{Z}. \end{align}
