$A$ relativamente compacto $\iff$ $A$ está acotado y es el límite del sumo de $A$ va a $0$

Question

Dejemos que $1\leq p < \infty$ y $A \subseteq \ell^{p}$ . Demuestra que:

$A$ relativamente compacto $\iff$ $A$ está acotado y $\lim\limits_{n \to \infty} \sup\limits_{x \in A}(\sum\limits_{i=n}^{\infty}\vert x_{i}\vert^{p})^{\frac{1}{p}}=0$

" $\Rightarrow$ " Supongamos que $A$ es relativamente compacto, entonces $\overline{A}$ es compacto y, por tanto, totalmente acotado, el hecho de que $A \subseteq \overline{A}$ muestra inmediatamente que $A$ también está totalmente acotado y, por tanto, acotado.

Y creo que necesito resolver $\lim\limits_{n \to \infty} \sup\limits_{x \in A}(\sum\limits_{i=n}^{\infty}\vert x_{i}\vert^{p})^{\frac{1}{p}}=0$ a través de una contradicción. Entonces, supongamos que existe $c>0$ para que $\lim\limits_{n \to \infty} \sup\limits_{x \in A}(\sum\limits_{i=n}^{\infty}\vert x_{i}\vert^{p})^{\frac{1}{p}}=c$ entonces podemos encontrar una secuencia $(x^{m})_{m} \subseteq A$ para que $\lim\limits_{m \to \infty}\lim\limits_{n \to \infty}(\sum\limits_{i=n}^{\infty}\vert x_{i}^{m}\vert^{p})^{\frac{1}{p}}$ pero el suyo lo complica demasiado. ¿Qué me falta?

Answer 1

Yo probaría la última parte directamente.

Dejemos que $\epsilon>0$ .

Utilice el hecho de que $A$ está totalmente acotado para obtener un conjunto finito de secuencias $\{x^k\}$ tal que $A\subset \bigcup_k B(x^k,\epsilon)$ .

Defina la norma de la cola como $\|\cdot \|_{p,n}$ .

Entonces, para cada $k$ , encontrar $N_k$ tal que $\|x^k\|_{p,N_k}<\epsilon$ .

Dejemos que $N$ sea el máximo de los $N_k$ .

Por cada $x\in A$ , dejemos que $k_x$ denotan el índice de la secuencia $x^{k_x}$ que está más cerca de $x$ en el $p$ -normas.

Entonces tenemos $\|x-x^{k_x}\|_{p,N} \leq \|x-x^{k_x}\|_{p} < \epsilon$ Así que

\begin{align} \sup_{x\in A} \|x\|_{p,N} & \leq \sup_{x\in A} \|x-x^{k_x}\|_{p,N} + \|x^{k_x}\|_{p,N} \\ & \leq 2\epsilon \end{align}