En lo anterior se puede ver el detalle de esta pregunta, soy principiante en este tipo de matemáticas. Estaré muy agradecido si alguien puede ayudarme a resolverlas.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Supongo que se trata de una pregunta de encargo, así que voy a intentar orientarte en la dirección correcta (y sólo en la primera parte: has dicho en un comentario que era esto con lo que querías ayuda).
¿Están de acuerdo los responsables de la toma de decisiones con una función de utilidad (creciente) en preferir el riesgo $X_1$ a $X_2$ ?
Las expectativas de $X_1$ y $X_2$ son iguales: $E(X_1)=E(X_2)$ . Así que no habría ninguna razón para preferir $X_1$ o $X_2$ sobre esta base.
La pregunta es si existe alguna función de utilidad creciente $u(x)$ tal que $$E(u(X_1)) > E(u(X_2)) \\ \iff \\ \sum_{x=0}^{10}u(x)Pr(X_1=x) > \sum_{x=0}^{15}u(x)Pr(X_2=x) \\ \iff \\ \sum_{x=0}^{10}u(x)\binom{10}{x}0.5^x0.5^{1-x} > \sum_{x=0}^{15}u(x)\binom{15}{x}(1/3)^x(2/3)^{1-x}$$
Tenga en cuenta que $X_1$ La probabilidad de éxito de la empresa, 1/2, es mayor que $X_2$ La probabilidad de éxito de la empresa es de 1/3. Pero $X_2$ sigue teniendo la misma expectativa que $X_1$ porque con $X_2$ el número máximo de aciertos que puede obtener, 15, es mayor que el número máximo de aciertos que puede obtener para $X_1$ , 10. Esto sugiere que si existe tal función de utilidad, es una que premia desproporcionadamente un menor número de éxitos.
El siguiente gráfico muestra la línea $y=x$ en negro para la función de utilidad $u(x)=x$ correspondiente a $E(u(X))=E(X)$ . Hay otras dos líneas en verde y rojo: si una de ellas correspondiera a una función de utilidad en la que los decisores prefirieran $X_1$ a $X_2$ ¿cuál sería?
