Cómo determinar $x, y, z$ coordenadas del tercer vértice de un triángulo 3D?

Question

Dada una línea $AB$ tal que $A(0,0,0)$ y $B(4,7,9)$ . ¿Cómo puedo obtener un punto $C(x,y,z)$ de $\Delta ABC$ con $AB$ , $AC$ y $BC$ ¿se sabe?

Se agradecerá cualquier ayuda.

Answer 1

Nos dan dos puntos fijos $A$ y $B$ en tres espacios y dos números positivos $a$ y $b$ que junto con $c=|AB|$ satisfacen las desigualdades del triángulo. Buscamos un punto $C$ tal que $|AB| = c, \,\, |BC|=a$ y $|CA| = b$ .

Supongamos que hemos encontrado uno de estos puntos $C$ . Sea $H \in AB$ sea el punto (único) en $AB$ tal que $CH$ es perpendicular a $AB$ . Como estamos en un espacio de tres, resulta que todos los puntos $C$ que cumplan las condiciones $|BC|=a$ y $|CA| = b$ forman un círculo situado en el plano que pasa por $H$ perpendicular a la línea $AB$ . Además, el centro del círculo es $H$ y su radio es $|CH|$ . Queremos encontrar una parametrización de ese círculo.

Como ya se ha mencionado, el punto $H \in AB$ es tal que $CH$ es perpendicular a $AB$ es decir $CH$ es la altitud del triángulo $ABC$ a través del vértice $C$ . Entonces $H$ divide el segmento $AB$ en dos segmentos $AH$ y $BH$ . Sea $|AH| = c_b$ y $|BH| = c_a$ . Por construcción $c_a+c_b = c.$ Además, por el teorema de Pitágoras $$b^2 - c_b^2 = |CH|^2 = a^2-c_a^2.$$ Así, tenemos un sistema de 2 ecuaciones para las variables desconocidas $c_a,c_b$ :

$$\begin{align} c_b^2-c_a^2 &= b^2-a^2\\ c_b+c_a &= c \end{align}$$ y al resolverlo obtenemos $$\begin{align} c_b &= \frac{b^2-a^2+c^2}{2c}\\ c_a &= \frac{a^2-b^2+c^2}{2c} \end{align}$$ Además, podemos encontrar la longitud de la altitud $$|CH| = \sqrt{b^2-c_b^2} = \frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}{2c}$$

A continuación, observa que el sistema de coordenadas es con origen $A$ . Sea $\overrightarrow{e}_1 = (1,0,0)$ . Entonces, claramente $\overrightarrow{e}_1$ y $\overrightarrow{AB}$ son linealmente independientes. Por lo tanto, el vector $\overrightarrow{e}_1 \times \overrightarrow{AB}$ es perpendicular al vector $\overrightarrow{AB}$ y el vector $\overrightarrow{AB} \times(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{e}_1)$ es perpendicular a ambos vectores $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{e}_1 \times \overrightarrow{AB}$ . Además, los vectores $$\frac{\overrightarrow{e}_1 \times \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{e}_1 \times \overrightarrow{AB}|} \,\,\, \text{ and }\,\,\, \frac{\overrightarrow{AB} \times(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{e}_1)}{|\overrightarrow{AB} \times(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{e}_1)|}$$ son de longitud unitaria y son perpendiculares entre sí, así como cada una de ellas es perpendicular a $\overrightarrow{AB}$ . Por lo tanto, el círculo que buscamos se puede parametrizar como $$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AH} + |CH| \left(\cos{\theta} \, \frac{\overrightarrow{AB} \times(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{e}_1)}{|\overrightarrow{AB} \times(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{e}_1)|} + \sin{\theta} \, \frac{\overrightarrow{e}_1 \times \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{e}_1 \times \overrightarrow{AB}|}\right).$$ Pero $$\overrightarrow{AH} = c_b\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|} = \frac{c_b}{c}\overrightarrow{AB}.$$ Así, $$\overrightarrow{AC} = \frac{c_b}{c}\overrightarrow{AB} + \sqrt{c^2-c_b^2} \left(\cos{\theta} \, \frac{\overrightarrow{AB} \times(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{e}_1)}{|\overrightarrow{AB} \times(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{e}_1)|} + \sin{\theta} \, \frac{\overrightarrow{e}_1 \times \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{e}_1 \times \overrightarrow{AB}|}\right).$$ Sabemos todo en esta ecuación -- tenemos vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{e_1}$ así como $$\begin{align} c_b &= \frac{b^2-a^2+c^2}{2c}\\ \sqrt{b^2-c_b^2} &= \frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}{2c}. \end{align}$$ Mis breves cálculos muestran que en números $$\begin{pmatrix} C_1\\ C_2 \\ C_3 \end{pmatrix} = \frac{c_b}{c}\begin{pmatrix} 4\\ 7\\ 9 \end{pmatrix} + \sqrt{c^2-c_b^2} \left(\frac{\cos{\theta}}{\sqrt{4749}} \, \begin{pmatrix} -65\\ 14\\ 18 \end{pmatrix} + \frac{\sin{\theta}}{\sqrt{130}} \, \begin{pmatrix} 0\\ -9\\ 7 \end{pmatrix}\right)$$

Answer 2

Los valores conocidos de $|AC|$ y $|BC|$ esencialmente te dan ecuaciones para las coordenadas de $C$ . Por ejemplo, si tenemos $|AC|=d_1$ y $C$ es el punto $(x,y,z)$ entonces,

$$|AC|=d_1 \Rightarrow x^2+y^2+z^2=d_1^2,$$

de manera similar,

$$|BC|=d_2 \Rightarrow (4-x)^2+(7-y)^2+(9-z)^2 = d_2^2.$$

Sin embargo, estas ecuaciones no son suficientes para especificar de forma única el par ordenado para $C$ . Las ecuaciones determinan la forma del triángulo, pero no su orientación. Por tanto, habrá una variable libre de la que dependerán las otras dos.

He resuelto para $x,y,z$ en Maple para el caso concreto de que $z=0$ .

$$\color{blue}{x = {\frac {2}{65}}\,{d_{{1}}}^{2}+{\frac {292}{65}}-{\frac {2}{65}}\,{d_{ {2}}}^{2}}$$ $$\color{blue}{-{\frac {7}{130}}\,\sqrt {-{d_{{1}}}^{4}-32\,{d_{{1}}}^{2}- 21316+2\,{d_{{1}}}^{2}{d_{{2}}}^{2}+292\,{d_{{2}}}^{2}-{d_{{2}}}^{4}}}$$

$$\color{red}{y={\frac {7}{130}}\,{d_{{1}}}^{2}+{\frac {511}{65}}-{\frac {7}{130}}\,{d _{{2}}}^{2}}$$ $$\color{red}{+{\frac {2}{65}}\,\sqrt {-{d_{{1}}}^{4}-32\,{d_{{1}}}^{2}- 21316+2\,{d_{{1}}}^{2}{d_{{2}}}^{2}+292\,{d_{{2}}}^{2}-{d_{{2}}}^{4}} }$$

$$z=0$$

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Si alguno de los dos $d_1$ o $d_2$ son demasiado cortos, entonces no debería ser posible construir un triángulo. Esto se revela a través de la expresión dentro de las raíces cuadradas; que se llama el discriminante. Si el discriminante es negativo, entonces no es posible formar un triángulo con las distancias especificadas.

He trazado el discriminante en los casos específicos en los que $d_1=4$ (primer gráfico) y cuando $d_1=2$ (segundo gráfico). Observando los gráficos se puede ver que sólo un cierto rango de $d_2$ resultará en un discriminante positivo; demasiado largo o demasiado corto y no habrá solución. También hay que tener en cuenta que cuanto más corto sea $d_1$ menos posibilidades hay.

• $d_1=4$

• $d_1=2$

Answer 3

Será más fácil hacerlo en dos dimensiones, así que empecemos con eso: A(0,0) y B(0, $\sqrt 146$ ). (|AB| = $\sqrt{146}$ se deduce de las coordenadas que has dado y del teorema de Pitágoras). La ley de los cosenos te dará entonces que la coordenada y de C es $$\frac{|AC|^2 - |BC|^2 + 146}{2\sqrt{146}}$$ y el teorema de Pitágoras te dará la coordenada x como $$\sqrt{|AC|^2 - \frac{(|AC|^2 - |BC|^2 + 146)^2}{584}}$$ (Si es imaginario, no existe ningún punto adecuado).

A partir de ahí es relativamente fácil. Tendrás que volver a colocar los ejes X e Y en el espacio tridimensional. Por supuesto, tu eje y irá desde el origen hasta (4,7,9), así que multiplica cada término por la coordenada y y divide por $\sqrt{146}$ . Para encontrar un vector ortogonal, se utiliza algo llamado producto punto, que es igual al producto de las magnitudes dividido por el coseno. En coordenadas cartesianas, se calcula el producto puntual multiplicando cada coordenada y sumando los productos. Para obtener un ángulo recto, quieres que sea cero, así que (21,6,-14) es apropiado. Vuelve a multiplicar cada término, esta vez por la coordenada x, y divide por $\sqrt{673}$ . Suma los dos y obtendrás un punto adecuado.

Answer 4

Encuentra el ángulo C y la altura CH ( H está en AB) por la regla del seno en el plano de ABC. Todos los ángulos son conocidos.

El lugar geométrico de C es una circunferencia cuyo plano es perpendicular a AB. Lados $AC \rightarrow Ac$ y $BC \rightarrow Bc$ son generadores girados de un doble cono con el radio de la base del cono CH mediante un parámetro de rotación $t$ .

Mediante el uso de productos vectoriales cruzados y puntuales se pueden encontrar los parámetros variables desconocidos en términos de $t$ .