¿Cómo podemos construir un rectángulo con un área no nula cuando todas sus líneas tienen un área nula?

Question

[El contenido fue actualizado después de la discusión con David C. Ullrich] Tengo un método de construcción del rectángulo, pero da resultados incorrectos. El razonamiento de este método defectuoso es el siguiente:

Considera este rectángulo:

Como puedes ver, lo he dividido en tres partes. Obviamente, asumo (porque me parece evidente) que si sumamos el área de cada parte entonces obtendremos el área de todo el rectángulo inicial.

También asumo (porque me parece evidente) que si hice el parte azul un poco más estrecha no cambiaría este hecho. Si yo separara el rectángulo en 100 partes iguales (y en consecuencia - muy estrechas), también sería cierto de todos modos. PERO ...

¿Pero qué pasa si dividimos el rectángulo en partes aún más pequeñas? ¿Qué si tomamos todas las infinitas LÍNEAS que componen el rectángulo? Ahora las cosas se vuelven extrañas. El área de cada línea es exactamente igual a cero. Y la suma infinita de ceros es igual a cero.Pero esto es falso, ¡el rectángulo tiene claramente un área mayor que cero! En otras palabras, nosotros ¡tomamos todas las partes y el resultado resultó ser MENOR que el conjunto!

Esta pregunta fue marcada como duplicado de otra pregunta ( ¿Cómo pueden los puntos que tienen longitud cero dar lugar a un segmento de línea con longitud finita? ), pero me temo que no consigo las respuestas para dicha pregunta (y para Si el punto es de dimensión cero, ¿cómo puede formar una línea unidimensional finita? también)

Mi formación matemática: Curso escolar ruso de matemáticas (incluido el cálculo) + lógica de predicados + álgebra lineal + teoría de grafos + algunos fundamentos de teoría de conjuntos (todavía los estoy aprendiendo) + algunos fundamentos sobre estadística y probabilidad (todavía los estoy aprendiendo). Todas las matemáticas escolares las estudié con un profesor particular, todo lo demás fue básicamente autodidacta. Dicho esto, me siento oxidado en todo ello (excepto en lógica de predicados y teoría de conjuntos), pero creo que podré reaprender rápidamente conceptos de dichas materias si es necesario para entender la explicación.

Answer 1

No es necesario mencionar la teoría de la medida para explicar cuál es el agujero en su lógica. Estás asumiendo esto:

Supuesto Si divides un rectángulo en infinitos trozos disjuntos, la suma de las áreas de los trozos es el área del rectángulo.

¿Cómo sabe que la suposición es cierta? No puedes saber que es cierta a menos que sepas cómo demostrarla, y tienes no lo demostró. Sé que no lo has demostrado porque es falso, sé que es falso porque el ejemplo que pones, dividir un rectángulo en líneas, muestra que es falso.

Y eso es realmente todo lo que hay: te basas en una suposición no demostrada, y esa suposición es simplemente falsa; si asumes algo falso puedes demostrar cualquier locura que quieras.

Lo que viene a decir es que "simplemente no funciona así". No es la respuesta que quieres, pero realmente es la respuesta correcta. Por qué ¿no funciona así? Pues ese "por qué" es problemático. De hecho no funciona así, y el ejemplo que das muestra no funciona así.

Comentario Usted dice "No tengo ninguna definición. Entiendo este concepto de forma intuitiva". La moraleja aquí es que tu comprensión intuitiva es simplemente errónea. Cuando empiezas a hablar de conjuntos infinitos mucha intuición resulta ser errónea - tu intuición se basa en ejemplos de fenómenos finitos.

A la verdad matemática no le importa tu intuición. Está bien cuando los dos están de acuerdo, pero cuando no están de acuerdo es una pena para tu intuición.

Metacomentario Dices que "debe haber algo mal en mi lógica". Pero aquí no hay ninguna "lógica", estás hablando de tu propia intuición personal, que va más allá de lógica .

Comentario Sobre la teoría de la medida: La teoría de la medida es ciertamente relevante aquí - explica las condiciones bajo las cuales versiones modificadas de la suposición son verdaderas. Pero no es necesario para explicar el error anterior - "simplemente no funciona así" es realmente la explicación correcta.

Aparte, no va dirigido al OP, sino a los lectores que creen que la respuesta a la pregunta implica realmente la teoría de la medida: Presumiblemente estamos afirmando que la explicación correcta es algo así:

Supuesta explicación La medida de Lebesgue es contablemente aditiva, pero la partición del rectángulo en líneas implica incontables conjuntos.

Pues no.

(i) ¡Eso no es una explicación de por qué la suposición es falsa! Es una explicación de por qué la Hipótesis no se deduce de la teoría de la medida; de por qué su falsedad es consistente con la teoría de la medida, no es en absoluto lo mismo que una explicación de por qué es falsa. Una explicación de por qué es falsa consiste en una contraejemplo - de hecho el OP dio un contraejemplo.

(ii) Tampoco es una explicación del error en el razonamiento de la OP. Podría ser una explicación si el razonamiento del PO implicara la teoría de la medida.

Answer 2

Quizá tengas razón.

Has descubierto una paradoja. Todo lo siguiente parecen ser verdad, y sin embargo se contradicen entre sí:

1. Un rectángulo tiene un área positiva.
2. Un rectángulo está hecho enteramente de segmentos de línea.
3. Un segmento de línea tiene área 0.
4. Si un "todo" está formado por piezas, el área del todo es la suma de las áreas de las piezas.

Para resolver la paradoja, tenemos que negar al menos una de las cuatro premisas. La definición estándar de la palabra "área" es aquella que rechaza la premisa 4 y admite las otras tres premisas.

Sin embargo, podríamos definir "área" (o incluso "rectángulo") de forma diferente y encontrar una resolución que rechace tout una de estas cuatro premisas (y admite las otras tres). Todas estas resoluciones son autoconsistentes, por lo que todas pueden considerarse "correctas", pero también suelen considerarse "peores" que la definición estándar de la palabra "área".

Negando la premisa 1

Si queremos, podemos negar que un rectángulo tenga un área positiva; podemos definir la palabra "área" de forma que todos los rectángulos tengan área 0. Pero esta definición de la palabra "área" no se ajusta en absoluto a nuestras intuiciones sobre el área, así que sigamos adelante.

Negando la premisa 2

Una resolución interesante es negar que un rectángulo esté hecho enteramente de segmentos de línea.

Es difícil que esto funcione, porque uno de los supuestos fundamentales de la geometría estándar es que todas las "formas" están formadas por puntos, lo que implica que todos los rectángulos están formados por segmentos de línea. Sin embargo, si hacemos algunos cambios importantes en nuestros supuestos fundamentales, podemos acabar con una teoría en la que los rectángulos son no hecho enteramente de segmentos de línea, sino de rectángulos con una anchura infinitesimal (pero no nula).

En realidad no conozco ninguna formulación de la geometría que funcione así, pero por lo poco que he oído sobre análisis infinitesimal suave podría ser una formulación de este tipo.

Negando la premisa 3

Podemos negar que un segmento de recta tenga área 0. Esta resolución no lo hace parece requerir que cambiemos ninguno de los supuestos fundamentales de la geometría; todo lo que tenemos que hacer es cambiar la definición de la palabra "área".

Todo lo que tenemos que hacer es inventar una nueva definición de la palabra "área" bajo la cual las premisas 1, 2 y 4 anteriores sean todas verdaderas. Esto sólo plantea dos problemas:

• No sé si alguien ha realmente lo hizo todavía. Tal vez no haya una manera fácil de hacer esto después de todo.
• La nueva definición de "área" no puede ser un número real, porque no hay ningún número real que pueda sumarse a sí mismo infinitas veces para producir un resultado que sea positivo y finito.

Negando la premisa 4

Esta es la resolución que resulta de la definición estándar de la palabra "área" utilizada hoy en día. Según esta definición, el área de un segmento de línea es exactamente 0. El único "problema" de la definición estándar es que el área de un "todo" puede ser mayor que la suma de las áreas de las piezas, si hay un número incontable de piezas .

En otras palabras, la definición estándar de "área" no es aditiva. Intuitivamente, parece que el área debe ser aditivo. Después de todo, has dicho que parece una verdad evidente que si divides un rectángulo en trozos, la suma de las áreas de los trozos es el área del rectángulo.

¿Combinando 3 y 4?

Tengo una resolución que te puede gustar.

Parece que si tomas un rectángulo que tiene área, y lo divides en trozos iguales, entonces esos trozos deberían tener un área no nula. Así que sigue adelante y define el "área verdadera" de una forma de la manera que quieras para que esto se cumpla. Si crees que un segmento de línea debe tener un área infinitesimal, digamos que el "área verdadera" de un segmento de línea es un número infinitesimal.

Mientras tanto, define el "área formal" como la definición estándar de área utilizada por los matemáticos en la actualidad.

Si lo hace, la resolución es simplemente el hecho de que "área formal" no es lo mismo que "área verdadera". En cambio, el "área formal" es simplemente el número real más cercano a el "área verdadera".

Por lo tanto, aunque el "área formal" de un segmento de línea es 0, se puede pensar que se trata de un error de redondeo, y que el "área verdadera" es en realidad mayor que 0. Una vez que se juntan incontables segmentos de línea, el error de redondeo se vuelve significativo.

Pero hay que tener en cuenta que cuando los matemáticos dicen "área", se refieren a lo que yo llamo aquí "área formal". La llamada "área verdadera" no es algo en lo que los matemáticos de hoy en día piensen o hablen a menudo.