Se dice que una secuencia tiene variación acotada si: $$ \exists M \in\Bbb R: \sigma_n = |x_2 - x_1| + |x_3 - x_2| + \cdots + |x_{n+1} - x_n| \le M,\ \forall n\in\Bbb N $$ Demostrar que la acotación de la variación implica la convergencia de $\{x_n\}$
Esta pregunta se basa en mi pregunta anterior aquí donde necesitaba demostrar que "la convergencia implica la acotación de la variación". Ahora quiero hacer lo contrario.
En primer lugar, hay que tener en cuenta que $\sigma_n \ge 0,\ \forall n\in \Bbb N$ . La secuencia también es convergente por el teorema de convergencia monótona, porque $\sigma_n$ es monótonamente creciente: $$ \sigma_n \le M,\ \sigma_{n+1} \ge \sigma_n \implies \exists \lim_{n\to\infty}\sigma_n = L $$
Entonces $\sigma_n$ satisfacen el criterio de Cauchy, por lo que podemos fijar cualquier $p \in\Bbb N$ tal que..: $$ \lim_{n\to\infty}(\sigma_{n+p} - \sigma_n) = 0 $$
Considera la diferencia: $$ \sigma_{n+p} - \sigma_n = \sum_{k=n+1}^{n+p}|x_k - x_{k-1}| $$
Escribir el límite para ambos lados: $$ \lim_{n\to\infty}(\sigma_{n+p} - \sigma_n) = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=n+1}^{n+p}|x_k - x_{k-1}| = 0 $$
Y eso sólo es posible en el caso de que cada término sea la suma tiende a 0 sin importar $p$ que elegimos, lo que significa: $$ \exists \lim_{n\to\infty} |x_{n+p} - x_{n}| = 0 $$
Por lo tanto, $x_n$ es Cauchy, y por tanto convergente.
Me gustaría pedir la verificación de mi prueba. Si lo anterior no es válido, ¿cuál sería una prueba adecuada?
