Por qué $_2F_1(\Delta/2 - 1/8,\Delta/2 + 7/8;\Delta;1)$ ¿es divergente?

Question

Necesito evaluar un residuo y este término: $$_2F_1\left(\frac{\Delta}{2} - \frac{1}{8},\frac{\Delta}{2} + \frac{7}{8};\Delta;1\right),$$ que aparece dentro de esa expresión. Esto hace que el residuo sea divergente. He comprobado con mathematica que esto da complexinfinity independientemente del valor de $\Delta$ .

Quiero saber cómo diverge este término. Intenté aplicar varias identidades disponibles sin ningún éxito.

Editar : De manera similar, $$_3F_2\left(\frac{\Delta }{2}-\frac{9}{8},\frac{\Delta }{2}+\frac{7}{8},\frac{\Delta }{2}+\frac{7}{8};\frac{\Delta }{2}-\frac{1}{8},\Delta ;1\right)$$ diverge para cualquier valor de $\Delta$ . Debe haber alguna identidad que sea aplicable a cualquier $\, _{p+1}F_p$ función, al parecer.

Answer 1

La razón fundamental es que la ecuación diferencial hipergeométrica para $_2F_1(a,b,c,z)$ se caracteriza por el símbolo de Riemann $$\left\{ \begin{array}{ccc}0 & 1 & \infty \\ 0 & 0 & a \\ 1-c & c-a-b & b\end{array}\right\}.$$ Esto significa, en particular, que (para parámetros suficientemente genéricos) $_2F_1(a,b,c,z)$ puede representarse como una combinación lineal de dos funciones de la forma $$f(z),(1-z)^{c-a-b}g(z),$$ donde $f(z)$ , $g(z)$ son holomorfas en la vecindad de $z=1$ y se puede normalizar como $f(0)=g(0)=1$ . En su caso $c-a-b=-1$ que produce la divergencia. Un razonamiento similar puede aplicarse también a $_{p+1}F_p$ .