Grupo social

Question

$(\Bbb R,+)$ es un Grupo topológico. ¿Hay otra estructura de grupo en $\Bbb R$, que sigue siendo un Grupo topológico, y este grupo no es isomorfo a $(\Bbb R,+)$?

Se refieren a Las estructuras de grupo no-isomorfo a un grupo de Topological para el problema general. En problema he conjeturado que no existe ningún tal grupo sin embargo no pude probarlo.

Answer 1

No, no isomorfos de las estructuras de grupo en la misma topología de la recta real no son posibles. En aras de la claridad me referiré a la topológica del espacio en cuanto a la línea real, no ℝ, para enfatizar que no se basan en un conocido aritmética de la estructura, sólo en la conocida estructura topológica, y tienen algunas (desconocido) la estructura del grupo.

Primero de todo, vamos a definir la familia de grupo de la izquierda operaciones (alarmada):

G_x(y) = x • y .

Para cada x: G_x debe ser un homeomorphism de la línea real. Tal homeomorphism puede ser, en principio, de orden-la conservación o de la orden de inversión. Dado que para el elemento de identidad e: G_e debe ser el mapa de identidad, G_x depende de x de forma continua, y la línea real está conectado, para cualquier x: G_x es el fin de la preservación de.

Vamos a ir más allá. Excepto por G_e, cualquier G_x no tiene puntos fijos. Es fácil comprobar que cuando x > e pasa la línea a lado positivo y para x < e se desplaza la línea al lado negativo. Suponemos que hereda ciertas total de la orden de estructura de ℝ, pero generalmente no es importante cual de las dos posibles estructuras de orden en la recta real estamos utilizando.

De esto se deduce que nuestro grupo es totalmente ordenado grupo que implica que es de torsiones.

Ahora usted puede pensar de correo como si 0 y de un arbitrario distintas elemento como de 1, y tedioso del siglo 19 el análisis matemático de moda razonamientos puede demostrar que no tenemos nada, pero la adición de números reales hasta el isomorfismo.