Norma de la función $f(x)=\int_0^2 x(t).(t^2-1)dt$ en el espacio $X=L_1(0,2)$ .

Question

Intento calcular la norma del funcional $f(x)=\int_0^2 x(t).(t^2-1)dt$ en el espacio $X=L_1(0,2)$ .

Lo que tenemos es: $||f(x)||\le ||x||_1.||t^2-1||_{\infty}$ por la desigualdad de Hölder extendida.

Entonces tenemos $||f(x)||\le 3.||x||_1$ .

Ahora dejemos que $y_n=n.\mathcal{X}_{[2-\frac{1}{n},2]}$ que tiene norma $||y_n||_1=1$

Pero el problema es que la fuente que estoy viendo dice $f(y_n)\rightarrow 3$ como $n\rightarrow \infty$ así $||f||=3$ y calculo $f(y_n)$ diferente.

¿Puede alguien decirme explícitamente por qué $\int_0^2 y_n.(t^2-1)dt \rightarrow 3$

Answer 1

Quieres decir que eres incapaz de calcular $$ \int_{2-1/n}^2n(t^2-1)\mathrm dt=\left.n\left(\frac{t^3}3-t\right)\right|_{2-1/n}^2=3-\frac2n+\frac1{3n^2},$$ ¿Cómo es eso?