¿Cómo y por qué son diferentes estas dos funciones de aspecto similar?

Question

Tengo dos funciones 1) $y=x^{x^{x}}$ 2) $y=(x^x)^x$

Estas dos funciones me parecen iguales y lo veo como una mera diferencia de estilo de escritura pero cuando las grafico usando un graficador en línea tienen curvas diferentes también cuando encuentro sus derivadas usando diferenciación logarítmica obtengo resultados diferentes.Para 1 y 2 tengo $dy/dx$ como $x^{x^{x}}[x^x\cdot\ln(x)[1+\ln(x)]+x^{(x-1)}]$ y $(x^x)^x[x[2\ln(x)+1]]$ respectivamente

Entonces, mi pregunta es, ¿son estas dos funciones realmente diferentes, si es así, cómo? Si no, ¿cómo puede justificar sus expresiones de aspecto similar?

Answer 1

Obsérvese que el exponente de $y=x^{x^x}$ puede representarse como $k=x^x$ así que $y=x^k$ . Para $y=(x^x)^x$ el exponente de dentro del paréntesis se multiplica por el exponente de fuera, por lo que $k=x\cdot x= x^2$ puis $y=x^k=x^{x^2}$

Answer 2

Son diferentes, porque $$3^{3^3} = 3^{(3^3)} = 3^{27} = 7\,625\,597\,484\,987$$ mientras que $${(3^3)}^3 = 27^3 = 19\,683 = 3^9 = 3^{(3^2)}$$

Una de las propiedades generales de la exponenciación es $$(a^b)^c = a^{(b\cdot c)}$$ que corresponde a $$\log (a^b)^c = c\cdot\log a^b = c\cdot(b\cdot\log a) = (c\cdot b)\log a = \log a^{b\cdot c}$$ por lo que $$(x^x)^x = x^{(x\cdot x)} = x^{(x^2)} \ne x^{(x^x)}$$

Answer 3

$x^{x^x}$ se interpreta normalmente como $x^{(x^x)}$ . Lo cual es diferente a $(x^x)^x$ que es $x^{x^2}$ .

Para ver la diferencia, pruebe $3^{3^3}=3^{27}$ mientras que $(3^3)^3=27^3$ . El primero es del orden de $10^{12}$ mientras que el segundo es del orden de $10^5$ .