Demostración de la identidad básica que implica el teorema de Chern-Weil

Question

Si $E$ es un haz vectorial complejo sobre una colmena $M$ entonces se define el espacio de valor vectorial $p$ -formas diferenciales sobre ellas como $\Omega^p(M,E) = \Gamma ( \wedge ^p (T^*M) \otimes E) $

La conexión se define como el mapa , $\nabla: \Gamma(E) \rightarrow \Omega^1(M,E)$ satisfaciendo $\nabla(fX) = df\otimes X+f\nabla X$ donde $f \in C^{\infty}(M)$ y $X \in \Gamma(E)$

• ¿No se puede pensar en la conexión como un elemento de $\Omega^1(M,End(E))$ ? La diferencia de dos conexiones aunque no sea una conexión es un elemento de este tipo.

La curvatura de la conexión se define como el mapa, $$R = \nabla \circ \nabla : \Gamma(E) \rightarrow \Omega^2(M,E)$$

La definición correspondiente de "rastro" es como un mapa $Tr: \Omega^p(M,End(E))\rightarrow \Omega^p(M)$ que satisfacen algunas condiciones naturales.

Se puede demostrar que si $A,B \in \Omega^p(M,End(E))$ puis $Tr[A,B]=0$

La relación crucial a partir de la cual una versión del Teorema de Chern-Weil se vuelve casi inmediatamente obvia es ésta,

$$dTr[A] = Tr[[\nabla,A]]$$

El argumento para ello empieza por elegir una conexión diferente digamos $\nabla'$ y ver eso, $$Tr[[\nabla',A]] = Tr[[\nabla,A]]$$

Por tanto, el lado derecho de la ecuación deseada es independiente de la conexión elegida y, por tanto, puede evaluarse para cualquier conexión para obtener el lado izquierdo. Utilizando el hecho de que el haz a es localmente trivial se puede elegir la conexión "trivial" y esto debería dar aparentemente $dTr[A]$

• Aquí no puedo ver lo que es una "conexión trivial". Ayudaría si alguien puede escribirlo en coordenadas locales de trivialización. Y cómo es que la evaluación de la Tr da una derivada de-Rham de la Tr. ¡La aparición de la derivada de-Rham en el LHS parece muy misteriosa y eso es lo que hace que el Teorema de Chern-Weil haga clic! Ayudaría si alguien puede dar la intuición detrás de esto.

  Se define la forma de Chern como $det(I + \frac{\sqrt{-1}}{2\pi}R)$

  • En esta definición $I$ es el automorfismo de identidad de $E$ pero $R$ toma valores en $\Omega^2(M,End(E))$ . Entonces, ¿cómo se define el "+"?

¿Cuál es una buena referencia para este enfoque de la teoría de Chern-Weil en el lenguaje de las conexiones y la curvatura? La notación de las conferencias de Kobayashi me parece muy antigua para relacionarla y el libro de Weiping es demasiado conciso y el libro de Milnor-Stasheff lo hace en el lenguaje de la cohomología.

Answer 1

Iba a poner esto como comentario en la respuesta de Willie, pero se estaba alargando bastante:

La idea es que, mientras una conexión no una sección de $\Omega^1(M,End(E))$ - se puede ver como un mapa $\Gamma(E)\to \Gamma(T^*M \otimes E)$ - es decir, si le das a una conexión una sección, te dará una criatura peculiar que se come los campos vectoriales y escupe lo que parecen secciones de E como el $T^*M$ los factores tensoriales pasan a ser escalares.

En realidad estas cosas que parecen secciones son moralmente la elección de nuestra conexión de elevación del campo vectorial a E (- el factor de confusión es que debido a que E es un espacio vectorial, es su propio espacio tangente). Ahora bien, como ya se ha dicho antes, una conexión es globalmente $\mathbb{C}$ -lineal, pero no localmente (es decir, no $C^\infty(M)$ -lineal) como se requeriría para tener $\nabla \in \Gamma(\Omega^1(M,End(E))) $ .

Esto se debe a que cualquier candidato a ascensor debe realizar la sucia tarea de diferenciar la sección a lo largo de su campo vectorial (en esto consiste la condición de la regla de Leibniz). Teniendo esto en cuenta, nuestro primer proyecto de conexión sería simplemente $\Theta=$ una extensión $d_{DeRham}$ -tomando secciones a sus derivadas tensadas con los duales de las direcciones en las que se diferencian (una conexión llamada "trivial")- pero todavía hay espacio para maniobrar y podemos añadir a $\Theta$ a 1 forma $A \in \Gamma(\Omega^1(M,End(E)))$ con coeficientes en $End(E)$ y aún así obtener algo que satisfaga nuestras condiciones.

De hecho, para cualquier conexión $\nabla$ podemos escribir $\nabla= \Theta +A$ para algunos $End(E)$ valorado de la forma A. Ahora en $\nabla \circ \nabla$ La $\Theta \circ \Theta $ bit' irá directamente a cero por la misma razón $d^2=0$ en el complejo de DeRham y tendrá usted mismo sólo un $End(E)$ valorada de 2 formas a la izquierda (de nuevo, estrictamente, una $End T_{\Gamma (x)}E$ 2 formas valoradas, pero ¿quién cuenta?) - como has dicho, la curvatura $R \in \Omega ^2 (M,E)$ .

Así que (y este es el contenido real de lo que iba a poner en el comentario- el resto era sólo yo dejándome llevar) ¿qué es un $End(E)$ ¿valora la forma 2 cuando está en casa?

Es algo que toma pares de campos vectoriales y escupe un elemento de $End(E)$

$\iff$ Es algo que toma pares de campos vectoriales y escupe un $Rank(E) \times Rank(E)$ matriz

$\iff$ Es algo que toma pares de campos vectoriales y escupe las entradas de un $Rank(E) \times Rank(E)$ matriz

$\iff$ es un $Rank(E) \times Rank(E)$ con entradas en $\Omega^2 (M)$

Así que podemos sumar la identidad sin miedo, y podemos tomar el determinante de forma sensata ya que las formas pares conmutan cuando las multiplicamos.

Answer 2

(1) No, una conexión no es una sección de $\Omega^1(M,\mathrm{End}(E))$ : una sección actuaría tensorialmente y no satisfaría la regla de Leibniz. La conexión es $\mathbb{C}$ lineal y no $C^\infty(M,\mathbb{C})$ lineal.

(2) Dado que se tiene un haz vectorial sobre alguna variedad, por definición existe algún espacio vectorial complejo $V$ tal que alrededor de una vecindad de algún punto $p$ en el colector de base $M$ , $E$ se divide localmente como $U\times V$ (un haz es por definición localmente trivial), donde $U$ es un dominio en $\mathbb{R}^n$ . Una sección de $E$ puede expresarse localmente como $V$ -en una función valorada en $U$ . La conexión trivial viene dada simplemente por la derivación parcial a nivel de componentes. (En coordenadas, podemos elegir una base de $V$ y utilizar la coordenada estándar en $\mathbb{R}^n$ entonces sólo tienes un mapa desde un dominio en el espacio euclidiano al espacio euclidiano, dado por una colección de funciones. La conexión trivial actúa sobre cada una de las funciones como la derivada exterior).

(3) La forma de Chern toma valor en $H^*(M,\mathbb{R})$ ... si acepta que puede añadir objetos en $H^2$ y $H^4$ ¿por qué no la expresión en el determinante? Si te preocupas por estas cosas, quizás estarías más contento con la definición de que la k'th clase de Chern está dada por $(i / 2\pi)^k \sigma_k(\Omega)$ , donde $\sigma_k$ es el polinomio simétrico k's que actúa sobre $\Omega$ .

(4) Otro libro que puede ser útil es el de Morita Geometría de las formas diferenciales .

Answer 3

Referencias clásicas: el pequeño libro de Chern "Complex manifolds without potential theory" y Wells "Differential analysis on complex manifolds".
Pistas rápidas: la conexión trivial es $\nabla=d$ La traza es una operación algebraica, la derivada exterior una diferencial, por lo que conmutan.

Answer 4

Sugiero echar un segundo vistazo al libro de Milnors. Encontré su tratamiento de las clases de Chern en uno de los apéndices realmente claro y esclarecedor. No tengo acceso a su libro en este momento y creo que no enuncia realmente el teorema de Chern Weil, pero eso debería ser sólo un pequeño paso. También podrías echar un vistazo a los capítulos 5.3 a 5.5 de Moritas "Geometría de las formas diferenciales". Creo que la página 196, en particular, podría ser esclarecedora. El capítulo 6 está dedicado a la teoría de Chern-Weil para haces principales.