Mostrando $\left \lvert \sum_{k=1}^n x_k y_k \right \rvert \le \frac{1}{\alpha} \sum_{k=1}^n x_k^2 + \frac{\alpha}{4} \sum_{k=1}^n y_k^2 $

Question

Dejemos que $\vec x, \vec y \in \mathbb{R}^n$ y $\alpha > 0$ . Demostrar que $\left \lvert \sum_{k=1}^n x_k y_k \right \rvert \le \frac{1}{\alpha} \sum_{k=1}^n x_k^2 + \frac{\alpha}{4} \sum_{k=1}^n y_k^2 $ .

$$LHS = \left\lvert \vec x \cdot \vec y\right\rvert$$

\begin{align*} RHS &= \frac{1}{4 \alpha}\left(4 \sum_{k=1}^n x_k^2 + \alpha^2 \sum_{k=1}^n y_k^2\right) \\&= \frac{1}{4 \alpha}\left(2\sqrt{ \sum_{k=1}^n x_k^2} - \alpha \sqrt{\sum_{k=1}^n y_k^2}\right) \left(2\sqrt{ \sum_{k=1}^n x_k^2} + \alpha \sqrt{\sum_{k=1}^n y_k^2}\right) \\&= \frac{1}{4\alpha} \left( 2\left\lVert \vec x\right\rVert + \alpha\left\lVert \vec y\right\rVert\right)\left( 2\left\lVert \vec x\right\rVert - \alpha\left\lVert \vec y\right\rVert\right) \end{align*}

Dado que el lado derecho parece un producto de normas, parece que Cauchy-Schwarz es el camino a seguir, pero estoy perplejo en cuanto a cómo proceder en este punto. Se agradece cualquier ayuda sobre cómo continuar.

Answer 1

Su desigualdad sólo es cierta para $\alpha>0$ . En este caso, $$ \left(\frac{1}{\alpha}\sum_kx_k^2+\frac{\alpha}{4}\sum_ky_k^2\right)-\sum_k|x_ky_k|=\sum_k\frac{1}{\alpha}\left(|x_k|-\frac{\alpha}{2}|y_k|\right)^2\geq 0 $$ lo que implica $$ \left(\frac{1}{\alpha}\sum_kx_k^2+\frac{\alpha}{4}\sum_ky_k^2\right)\geq\sum_k|x_ky_k|\geq\left|\sum_kx_ky_k\right|. $$