Para resumir la idea central de los comentarios, he aquí una forma sencilla de extraer un lanzamiento de moneda justo de la situación dada:
Tenga en cuenta que en cualquier momento (excepto posiblemente antes del primer lanzamiento) la moneda está en uno de los dos estados, "Cara" o "Cruz", según lo que haya sido el lanzamiento anterior. En cualquiera de los dos estados la moneda se comporta como una moneda ponderada ordinaria, por lo que se aplica el método estándar para extraer un lanzamiento justo. En concreto, se lanza la moneda una vez para que quede en un estado u otro. En aras de la definición, digamos que sale H, por lo que la moneda comienza como "Cara". Ahora lánzala muchas veces. Digamos que obtenemos la secuencia $$\{H,H,T,H,T,T,T,T,H,T,T,H,H,T,H,H,H\}$$ Dividirlo en dos, de modo que estamos registrando los lanzamientos de la moneda de cara y los lanzamientos de la moneda de cruz. En este caso obtendríamos (confiando en que no se hayan cometido errores): $$\mathscr H =\{H,H,T,T,T,H,T,H,H\}$$ $$\mathscr T=\{H,T,T,T,H,T,H,H\}$$ Ahora aplicamos el extractor estándar a cualquiera de las monedas. Si hubiera elegido la moneda de Cruz, los dos primeros lanzamientos son $H,T$ por lo que von Neumann nos diría que elegimos $H$ . Si hubieras elegido la moneda de Cara los dos primeros lanzamientos son $H,H$ que debemos descartar. El siguiente par es $T,T$ que también descartamos. El tercer par es $T,H$ por lo que hemos seleccionado $T$ .
Como bien observa @user21820 en los comentarios, la eficiencia de este método puede mejorarse significativamente (el método esbozado generalmente requiere que descartes muchos lanzamientos). El referencia dada es clara y puede aplicarse a las dos secuencias que he descrito.
Nota I: una variante de la pregunta puede ser de interés. Supongamos que la moneda no está modelada por ningún sistema de estado finito sensato. Es decir, supongamos que el siguiente lanzamiento depende de forma no trivial de toda la historia (supongamos, por supuesto, que la naturaleza de esta dependencia está totalmente especificada). Ahora el método de "desentrañamiento" esbozado anteriormente no parece aplicarse. ¿Podemos aún extraer un lanzamiento justo? (para ser claros, no he dedicado nada de tiempo a esto. )
Nota II (boceto): en cuanto a la correlación. La intuición del PO es correcta, pero no parece que sea trivial verlo. Para ser precisos, dejemos que $p_H$ denota la probabilidad de que la moneda salga cara H y que $\pi_T$ denotan la probabilidad de que la moneda de Cruz salga T (notación ligeramente diferente a la que aparecía en la pregunta). Suponemos que $p_H,\pi_T > .5$ y tenemos que calcular $\phi$ la probabilidad de que von Neumann devuelva H a partir de la moneda cara, y $\psi$ la probabilidad de que von Neumann devuelva H partiendo de la moneda de Cruz. Esto es sencillo, aunque complicado, de hacer a través de recursiones (basta con mirar los cuatro resultados posibles de los dos primeros lanzamientos. Obtenemos que $$(1-p_H^2)\phi=p_H(1-p_H)+(1-p_H)\pi_T\psi$$ $$(1-\pi_T^2)\psi=(1-\pi_T)(1-p_H)+(1-\pi_T)p_H\phi$$ Después de un tedioso álgebra obtenemos que $$\phi=\frac {p_H+\pi_T}{1+p_H+\pi_T}$$ Y es fácil ver que esto es mayor que $\frac 12$ . Por simetría también obtenemos $\psi<\frac 12$ . Eso es todo lo que necesitamos. Significa que, partiendo de Cara tenemos más probabilidades de obtener H que T (lo que significa que cambiaremos a la moneda de Cruz) y partiendo de la moneda de Cruz tenemos más probabilidades de obtener T que H (lo que significa que cambiaremos a la moneda de Cara). Por supuesto, puede haber un argumento más intuitivo para esto.
