Axioma de elección y cálculo

Question

Pensé que muchos resultados en el cálculo necesitan la elección del axioma. Por ejemplo, pensé que se necesita AC para probar que una secuencia acotada en la línea real tiene una subsecuente convergencia. Recientemente me enseñaron que sólo se necesita inducción matemática para probarlo. Así que aquí están mis preguntas.

¿Pueden probarse la mayoría de los resultados de cálculo sin AC? Si es así, ¿cuáles son las excepciones, por nombrar algunas?

Obviamente un teorema que usa el lema de Zorn probablemente necesita AC. Así que por favor excluye los obvios.

Edita Con "sin AC", quiero decir sin ninguna forma de AC, es decir, contable o no, dependiente o no. En otras palabras, dentro de ZF.

Edita Una de las motivaciones de mi pregunta es la siguiente. La gente a menudo utiliza inconcientemente la CA para probar los teoremas. Y a menudo resulta que sus usos de la CA son innecesarios. Por ejemplo, un subconjunto infinito de un espacio métrico compacto tiene un punto límite. En su libro "Principios de análisis matemático", Rudin prueba esto eligiendo un vecindario adecuado de cada punto del espacio. Él usa AC aquí, aunque no lo dice. Sin embargo, ya que un espacio métrico compacto es separable, puede evitar la CA para probar este teorema.

Edita Haré la declaración anterior más clara. Incluso puedes evitar el AC contable para probar el teorema anterior. En otras palabras, puedes probarlo dentro de ZF.

Edita Haré mis preguntas más claras y específicas. Por cálculo me refiero al análisis clásico en los espacios euclidianos. Tomemos, por ejemplo, los "Principios de análisis matemático" de Rudin. ¿Se pueden probar todos los resultados de este libro dentro de ZF? Si no, ¿cuáles son las excepciones?

Answer 1

Para hacer el análisis clásico (es decir, las cosas en $ \mathbb R^n$ ) no necesitas todo el axioma de la elección. Mayormente necesitarías el axioma de contable y raramente el principio más fuerte de la elección dependiente.

Por ejemplo, la prueba de que la continuidad por $ \varepsilon $ - $ \delta $ es equivalente a la continuidad por secuencias (en un punto determinado $x$ ) requiere el axioma de la elección contable.

A menudo utilizamos definiciones por inducción para definir una cierta secuencia, la inducción misma nos dice que si hemos definido $a_n$ podemos definir $a_{n+1}$ - así que para un número finito dado podemos definir una secuencia más larga que este número. Sin embargo, normalmente estamos interesados en el caso de que haya una secuencia infinita aquí es exactamente donde el axioma de la elección entra en juego. Nos dice que existe tal secuencia y que podemos usarla.

Sin embargo, no todo requiere el axioma de la elección. Por ejemplo, el teorema de Heine-Borel que establece que los intervalos cerrados y limitados son compactos (cada cubierta abierta tiene una subcubierta finita) no requiere elección alguna. De manera similar, una función continua en todas partes es secuencialmente continuo en todas partes y viceversa (aunque la continuidad en un punto único a la vez requiere alguna elección).

Tenga en cuenta que general teoremas sobre general Las funciones/secuencias/juegos suelen requerir alguna elección, por otra parte los casos particulares y muy específicos pueden probarse sin ella.

Algunas palabras para abordar la segunda edición: Es cierto que la mayoría de la gente simplemente trabaja en ZFC, ¿y por qué no deberían hacerlo? Es un sistema muy cómodo y te ahorra la necesidad de verificar ciertas cosas (por ejemplo, si quieres usar la opción contable tienes que seguir comprobando que las familias que eliges son contables). Por otra parte, también es muy cierto que la mayoría de los resultados que utiliza la gente requieren mucho menos que el axioma completo de la elección, al menos en el análisis elemental.

Independientemente de lo anterior, una vez que se llega al análisis funcional, el axioma de elección se hace más evidente (por ejemplo, asumiendo que el lema del ultrafiltro + el teorema de Krein-Milman implica AC en su totalidad). También es natural que cuanto más grandes sean los conjuntos, más opciones se necesitarán, y una vez que se empiece a hablar de clases de espacios (por ejemplo, todos los espacios Hilbert, o todos los espacios convexos localmente) en lugar de un espacio específico, más opciones se necesitarán para cubrir el caso general.

Del mismo modo, en los casos "pequeños" se puede salir sin tener que elegir (o con muy poco) si se tiene un caso muy específico a mano. Si, por otro lado, quieres probar un teorema general podrías necesitar usar algún principio de elección directamente.

Hacer un análisis sin ninguna elección es muy difícil y muy limitante. Supongo que puede ser un reto y divertido para la gente que encuentra placer en ello, tanto como yo encuentro placer en estudiar la posible estructura del universo sin el axioma de la elección. Mi sugerencia es examinar su impulso interno para esta pregunta: si sólo desea aprender sobre el axioma de la elección y lo que es posible sin él, sugiero que tome algunos libros sobre matemáticas y el axioma de la elección:

1. Herrlich, H. El axioma de la elección (Springer, 2006)
2. Moore, G. H. El axioma de la elección de Zermelo (Publicaciones Dover, 2012)
3. Fremlin, D. H. Teoría de la Medida , vol. 5 (Torres Fremlin, 2000)
4. Schechter, E. Manual de análisis y sus fundamentos (Academic Press, 1997).

Si por el contrario desea simplemente rechazar el axioma de la elección, y ha decidido trabajar sin él, estoy seguro de que hay referencias adecuadas para ello, por desgracia no estoy familiarizado con ninguna de ellas.

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Más lecturas:

1. La continuidad y el axioma de la elección
2. ¿Fundación para el análisis sin axioma de elección?
3. El blog de Terry Tao: Análisis suave, análisis duro y el principio de convergencia finita .