Grupo abeliano finito y su automorfismo

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo abeliano finito con $x, y \in G$ tal que $|x| > 2$ , $|y|$ divide $|x|$ y $y \notin \langle x \rangle$ . Entonces no existe ningún automorfismo $f$ en $G$ tal que $f(x) = x$ , $f(y) = y$ y $f(xy) = (xy)^{-1}$ .

Mi intento: Si existe un automorfismo $f$ en $G$ tal que $f(x) = x$ , $f(y) = y$ y $f(xy) = (xy)^{-1}$ . Entonces $xy = x^{-1} y^{-1}$ da $x^2 = y^{-2}$ .

Estoy atascado aquí. ¿Podría alguien darme alguna idea de cómo seguir adelante? Se lo agradezco mucho.

Answer 1

Dado $f(x)=x$ y $f(y)=y$ Entonces, como $f$ es un homomorfismo de grupo se tiene $f(xy)=f(x)f(y)=xy$ . Así, $f(xy)=(xy)^{-1}$ si y sólo si $xy$ tiene un orden que divide a 2. Como $y\neq x^{-1}$ por su suposición, es si y solo si $xy$ tiene el orden exactamente 2. El comentario de Derek Holt muestra que esto es bastante fácil de suceder:

Dejemos que $G=\langle\,x\,\rangle×\langle\,z\,\rangle$ con $|x|=4$ , $|z|=2$ y poner $y=x^{-1}z$ y que $f$ sea el mapa de identidad. Entonces $xy=z=z^{-1}$ .

El problema surge en este ejemplo porque $\langle\,x\,\rangle\cap \langle\,y\,\rangle = \langle\,x^2\,\rangle\neq 1$ . Si se cambia la hipótesis " $y\not\in\langle\,x\,\rangle$ " a $\langle\,x\,\rangle\cap \langle\,y\,\rangle=1$ o incluso $\langle\,x^2\,\rangle\cap \langle\,y^2\,\rangle=1$ El resultado se mantendrá. Porque entonces $(xy)^2 = x^2 y^2 =1$ si y sólo si $y^2 =x^{-2}$ . Pero como $x^2\neq 1$ Por supuesto, esto implicaría $\langle\,x\,\rangle\cap \langle\,y\,\rangle\supseteq\langle\,x^2\,\rangle\cap \langle\,y^2\,\rangle\neq 1$ .

Tenga en cuenta que en ambos casos no se utiliza " $|y|$ divide $|x|$ " es necesario.