Encuentra el límite de $\lim_{n\to \infty}n^2({1\over{n^3+1^3}}+{1\over{n^3+2^3}}+\cdots+{1\over{n^3+n^3}}).$

Question

Encuentra el límite de $$\lim_{n\to \infty}n^2({1\over{n^3+1^3}}+{1\over{n^3+2^3}}+\cdots+{1\over{n^3+n^3}}).$$

No sé cómo evaluar este límite. Cualquier sugerencia o solución será muy apreciada. He convertido esto en $\int_o^1{1\over {1+x^3}}dx$ utilizando el álgebra. ¿Es esto correcto o hay una forma mejor?

Answer 1

Su integral es correcta, ya que los términos de su suma pueden reescribirse como $$\frac{n^2}{n^3+i^3} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1+(i/n)^3}$$ , lo que significa que su suma es una suma de Riemann para la integral correspondiente.

Si le resulta difícil empezar a evaluar la integral, puede tener en cuenta $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$ y, a continuación, céntrate en reescribir tu integrando en la siguiente forma (utilizando el método de las fracciones parciales) $$ \frac{1}{x^3+1} = \frac{A}{x+1} + \frac{B(2x-1)}{x^2-x+1} +\frac{C}{x^2-x+1} $$

(también hay que tener en cuenta que $x^2-x+1 = \left(x-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$ .)

Answer 2

Otro método : Gracias a algunas propiedades conocidas de la función digamma, especialmente la expansión asintótica, el límite para $n$ que tiende a infinito se obtiene $=\frac{\ln(2)}{3}+\frac{\pi\sqrt 3}{9}$

Por supuesto, este método es arduo. pero es un bonito ejercicio para los amantes de las funciones especiales.