¿Cuál de los dos estimadores siguientes es mejor?

Question

Dejemos que $X=(X_{1},...,X_{n})$ y $Y=(Y_{1},...,Y_{n})$ sean muestras simples independientes de las distribuciones de $\mathcal{N}(m_{x},\sigma ^2)$ y $\mathcal{N}(m_{y},\sigma ^2)$ respectivamente. ¿Cuál de los dos estimadores siguientes: $T_{1}(X,Y) = \overline{X} \ \overline{Y}$ , $T_{2} (X,Y)= \frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} X_{i}Y_{i}$ es un mejor estimador del parámetro $t=m_{x}m_{y}$ ?
$(\overline{X} = \frac{1}{n}\sum \limits_{i=1}^{n}X_{i})$
. . .

Estoy deseando que me orienten. Sé que definitivamente hay que calcular algunos valores esperados, pero no sé cuáles. ¿Cómo empezar?

Answer 1

Ambos estimadores son insesgados y consistentes. Por tanto, para comparar qué estimador es mejor, necesitamos una métrica. Propongo la varianza del estimador .

Según CLT y porque $X,Y$ son independientes (por tanto, $cov(X,Y) = 0$ ), tenemos $$\sqrt{n}\left( \begin{pmatrix} \bar{X} \\ \bar{Y} \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} m_x \\ m_y \end{pmatrix} \right) \xrightarrow{n \to +\infty} \mathcal{N}\left(0,\begin{pmatrix} \sigma^2 & 0 \\ 0 & \sigma^2 \end{pmatrix} \right) \tag{1}$$ Desde $(1)$ podemos aplicar el Método delta multivariante con $h(x,y) = xy$ $$\sqrt{n}(T_1(X,Y)- m_xm_y) \xrightarrow{n \to +\infty} \mathcal{N}(0,m_y^2\sigma^2+m_x^2\sigma^2) $$

Y sabemos que $$\sqrt{n}(T_2(X,Y)- m_xm_y) \xrightarrow{n \to +\infty} \mathcal{N}(0,V(XY)) $$

Observamos que $(m_x^2+m_y^2)\sigma^2 < V(XY) = E(X^2Y^2)=(\sigma^2+m_x^2)(\sigma^2+m_y^2) - m_x^2m_y^2$ podemos concluir que $T_1$ es mejor que $T_2$