¿Se puede observar el toro cuántica como un álgebra de Hall?

Question

De fondo

El Quantum De Toro

Deje $q$ ser cualquier número complejo, y definir (el álgebra de) el quantum de toro a ser $$T_q:=\mathbb{C}\langle x^{\pm 1},y^{\pm 1}\rangle/xy-qyx$$ Para $q=1$, esta es la conmutativa anillo de funciones en el toro $\mathbb{C}^\times\times \mathbb{C}^\times$; por lo tanto, para general $q$, esto es considerado como una cuantización del toro.

Sala De Álgebras De

Considere la posibilidad de un pequeño abelian categoría $A$, con la propiedad de que $Hom_A(M,N)$ $Ext^i_A(M,N)$ son siempre finitos conjuntos para cualquier $M,N\in A$$i\in \mathbb{Z}$. Deje $\overline{A}$ denota el conjunto de clases de isomorfismo en $A$, y vamos a $$H(A)=\oplus_{[M]\in \overline{A}}\mathbb{C}[M]$$ indicar el complejo espacio vectorial generado por $\overline{A}$. Dotar a $H(A)$, con una multiplicación por la fórmula $$[M]\cdot [N]=\sqrt{\langle [M],[N]\rangle)}\sum_{[R]\in \overline{A}}\frac{a_{MN}^R}{|Aut(M)||Aut(N)|}[R]$$ donde $a_{MN}^R$ es el número de corto exacta de las secuencias de $$0\rightarrow N\rightarrow R\rightarrow M\rightarrow 0$$ y $$\langle [M],[N]\rangle = \sum (-1)^i |Ext^i_A(M,N)|$$ es la forma de Euler. Esta multiplicación hace $H(A)$ a un asociado de álgebra se llama la Sala de álgebra de $A$; la prueba se puede encontrar por ejemplo aquí.

Finito y Cuantización de Campos

Las categorías $A$ que aparecen en la construcción de una Sala de álgebra son generalmente lineal en algún campo finito $\mathbb{F}_q$. A menudo, es posible que a la vez definen una categoría $A_q$ para cada campo finito $\mathbb{F}_q$, por lo general mediante la consideración de los módulos en el $\mathbb{F}_q$-puntos de algunos esquema sobre $\mathbb{Z}$. La correspondiente Sala de álgebras de $H(A_q)$ entonces suelen estar estrechamente relacionados, y a menudo puede ser definido por las relaciones que son funciones en $q$.

La Pregunta

Sé que hay casos en que un álgebra es deformada por un parámetro de $q$, y, a continuación, la resultante de la familia de álgebras de `por arte de magia' coincide con una familia de Sala de álgebras de $H(A_q)$ en los casos especiales cuando a $q$ es una fuente primaria de energía. Creo que esto sucede en el caso de la Hecke álgebra (explicado aquí), y en el caso de la cuántica universal que envuelve álgebras (explicado aquí). Puedo entender un poco de que esto es un síntoma de una relacionados con la convolución de álgebra en el esquema utilizado para definir $A_q$.

Hay una familia de categorías $A_q$ de manera tal que la correspondiente Sala de álgebras de $H(A_q)$ son isomorfos a la Cuántica Torus $T_q$ todos los $q$ un primer poder? Si es así, hay una convolución de álgebra realización de la Cuántica Toro?

Answer 1

Como tengo entendido, la Sala de álgebra de una categoría (por ejemplo, con la longitud finita de objetos) se clasifica por el Grothendieck monoid de esta categoría, se extendió por el simple uso de objetos de $\Bbb Z_+$, y debe tener el campo de tierra en el grado $0$. El quantum toro álgebra no parece tener tal calificación (tiene un $\Bbb Z^2$-clasificación, no un $\Bbb Z_+^m$-gradación). Tal vez uno debería hacer esta pregunta para el q-álgebra de Weyl $xy=qyx$ (no permitir que las potencias negativas de x y de y)? Tenga en cuenta que esta álgebra aparece como una subalgebra de una Sala de álgebra (la Sala de álgebra para el carcaj $A_2$ $U_q(n_+)$ donde $n_+$ es el nilpotent subalgebra de $sl(3)$; el p-álgebra de Weyl es generado por $e_{12}$ $e_{13}$ dentro de este álgebra).

Answer 2

[EDIT: ignorar este post. Lo escribí anoche y esta mañana veo que es absurdo].