Una serie lineal en una curva C es un haz de líneas L junto con un subespacio V de las secciones globales de L. Eisenbud y Harris desarrollaron una teoría de series lineales límite que explica cómo (L, V) degenera cuando C lo hace. Tenía la impresión de que una de las cosas buenas de las series lineales límite es que permiten demostrar afirmaciones por inducción en el género de una curva. ¿Cuáles son algunos ejemplos de afirmaciones que se pueden demostrar así?
Respuesta
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No estoy seguro de si alguno de los trabajos de Eisenbud-Harris utilizó literalmente la inducción. Un ejemplo es mi artículo "Linked Grassmannians and crude limit linear series", que ofrece una sencilla demostración inductiva del teorema de Brill-Noether utilizando series lineales límite. Se pueden dar argumentos similares para la existencia de ciertos mapas con ramificación prescrita en la característica p (véase el teorema 7.1 de la versión 1 en el arxiv de "Linear series and existence of branched covers").
Pero, en términos más generales, se podría decir que la estructura "inductiva" de las series lineales límite está encapsulada por el hecho de que se pueden describir las series lineales límite componente a componente (en contraste con la situación de los haces vectoriales de mayor rango, en los que hay que preocuparse de pegar mapas). Muchos argumentos pueden formularse en términos de inducción o degenerando inmediatamente a un caso de máxima degeneración (por ejemplo, una curva en peine, o una cadena de curvas elípticas), y son esencialmente los mismos de cualquier manera. Pero el punto es que la maquinaria se reduce a estudiar series lineales en los componentes individuales de la degeneración, que tienen un género más pequeño.
