encontrar la fórmula de $\ a_n \ $ en términos de $a_1, \ a_2 \ and \ \ F_n \ $ .

Question

Dejemos que $F_n=\{1,2,3,5,8,................ \} \ \ with \ \ F_n=F_{n-1}+F_{n-2} , \ \ F_1=1, \ F_2=2$

Considere también la secuencia $\ a_n=a_{n-1}+a_{n-2} \ $

Entonces encuentre la fórmula de $\ a_n \ $ en términos de $a_1, \ a_2 \ and \ \ F_n \ $ .

Mi respuesta:

$a_3=a_2+a_1 \\ a_4=2a_2+a_1 \\ a_5=3a_2+2a_1 \\ a_6=5a_2+3a_1 \\ a_7=8a_2+5a_1 \ $

Por lo tanto, creo que ,

$a_n=F_{n-2} a_2+F_{n-3} a_1 \ $

Pero no todo son satisfacciones.

Por favor, ayúdenme.

Answer 1

Demostrar por inducción, sólo paso de inducción de $n,n-1$ a $n+1$

$$\begin{eqnarray*} a_{n+1}&=& a_n+a_{n-1}\\ &=& F_{n-2} a_2+F_{n-3} a_1 + F_{n-3} a_2+F_{n-4} a_1\\ &=& (F_{n-2}+ F_{n-3}) a_2+(F_{n-3}+ F_{n-4}) a_1\\ &=& F_{n-1} a_2+F_{n-2} a_1 \end{eqnarray*}$$

Answer 2

Respuesta:prueba sin inducción por cada $n\ge 3$ que tenemos, $$\color{blue}{a_n= a_2 F_{n-2} +a_1F_{n-3} }$$ Vea los detalles a continuación

Ambas relaciones recursivas , $$F_n=F_{n-1}+F_{n-2} , ~~\text{and}~ a_n=a_{n-1}+a_{n-2} $$tienen la misma ecuación característica que es, $x^2 = x+1$ cuyas raíces son$$ \phi=\frac{\sqrt 5+1}{2}~\text{and}~~~\psi=\frac{1-\sqrt 5}{2}$$

Por lo tanto, se puede comprobar fácilmente que $a_n$ y $F_n$ tienen la forma , $$a_n =c\phi^{n-1}+k\psi^{n-1} = \color{red}{\frac{1}{\sqrt 5}\left((a_2-a_1\psi)\phi^{n-1}+(a_1\phi -a_2)\psi^{n-1}\right)}$$

A saber, resolver $ a_1 = c+k~\text{and}~a_2 =c\phi+k\psi$ n obtenemos,

$$c= \frac{1}{\sqrt 5}(a_2-a_1\psi)~\text{and}~~k=\frac{1}{\sqrt 5}(a_1\phi -a_2) $$ Comprobar que por sí mismo utilizando la observación de abajo es no debe causar ninguna dificultad

Por otra parte, es bien sabido que (se podría demostrar por inducción que) $$F_n = \frac{1}{\sqrt 5}(\phi^{n+1}-\psi^{n+1})$$

Observación(marque que): $\phi\cdot\psi = -1$ y $\phi^2 =\phi+ 1$ y $\phi +2 = \sqrt 5\phi$ estos implican que,

$$\phi F_n = \frac{1}{\sqrt 5}(\phi^{n+2}+\psi^{n}) =\frac{1}{\sqrt 5}(\phi^{n}(\phi+1)+\psi^{n})$$

y $$F_{n-1} = \frac{1}{\sqrt 5}(\phi^{n}-\psi^{n})$$

Por tanto, sumando las dos relaciones anteriores obtenemos

$$\color{blue }{\phi^{n+1} = \phi F_n +F_{n-1} \implies \phi^{n-1} = \phi F_{n-2} +F_{n-3}}$$ Un razonamiento similar muestra que $$\color{blue }{\psi^{n-1} = -\psi F_{n-2} -F_{n-3}}$$

Sustituyendo en la expresión roja anterior obtenemos . $$\color{red}{a_n= \frac{1}{\sqrt 5}\left((a_2-a_1\psi)(\phi F_{n-2} +F_{n-3})+(a_1\phi -a_2)(\psi F_{n-2} +F_{n-3})\right)}\\=\frac{1}{\sqrt 5}\left(a_2 F_{n-2}(\phi-\psi) +a_1F_{n-3}) (\phi-\psi))\right) \\\color{blue}{=a_2F_{n-2} +a_1F_{n-3}}$$

Answer 3

Has hecho todo el trabajo duro: has conjeturado la fórmula correcta.

Ahora, lo que se hace es olvidar el problema original, y tratar de realizar el nuevo ejercicio

Dejemos que $a$ sea una secuencia que satisfaga $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ . Demostrar que $a_n = F_{n-2} a_2 + F_{n-3} a_1$ .

Ha resuelto (presumiblemente) muchos problemas de este tipo. Este no debería ser inusual de ninguna manera; ¡utiliza los mismos métodos que usarías para cualquier problema similar! La inducción, por ejemplo.

Gran parte de las matemáticas son de esta forma general: cuando te den un problema complicado, busca la forma de reducirlo (o partes de él) a problemas más sencillos que sepas resolver, y luego resuélvelos.

Answer 4

Consideremos la secuencia generalizada de Fibonacci $f_n=af_{n-1}+bf_{n-2}$ . Las raíces características vienen dadas por

$$\alpha,\beta=\frac{a+\sqrt{a^2+4b}}{2}$$

y la solución general puede expresarse como

$$f_n=f_1G_n+bf_0G_{n-1}$$

donde

$$G_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}$$

Especializados en su caso, tenemos $\alpha,\beta=\varphi,\psi$ y según su definición de $F$ , $G_n=F_{n-2}$ que es una secuencia de Fibonacci desplazada. Por lo tanto, la solución, como has supuesto correctamente, viene dada por

$$a_n=F_{n-2} a_1+F_{n-3} a_0$$

(Tenga en cuenta que he indexado $a$ y $G$ de $n=0$ .)