Una pregunta sobre $L^1 $ y $C^\infty_C(\Omega)$ espacios

Question

$f,g \in L^1 (\Omega)$ , $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ es un dominio Lipschitz.

Demostrar que $$(\forall\phi\in C^{\infty}_{C}(\Omega))\Big(\int_{\Omega}^{}f*\phi=\int_{\Omega}^{}g*\phi\Big)\Rightarrow f=g $$

donde $\phi\in C^\infty_C(\Omega) \Rightarrow f\in C^\infty(\Omega)$ y $ supp f \subset\Omega$ es compacto.

Estoy trabajando en un proyecto, y estoy atascado en esta prueba aquí, así que si alguien pudiera ayudarme estaría muy agradecido

Answer 1

Si $\Omega$ no es todo $\mathbb{R}^{n}$ la función $$\int_{\Omega}f(x-y)\phi(y)dy$$ no está bien definida para todos los $x$ Así que voy a suponer que $\Omega=\mathbb{R}^{n}$ .

Dejemos que $F(x,y)=f(x-y)\phi(y)$ . Tenga en cuenta que \begin{eqnarray} \int_{\mathbb{R}^{n}}|F(x,y)|dx &=& \int_{\mathbb{R}^{n}}|f(x-y)|\phi(y)|dx \nonumber \\ &=& |\phi(y)|\|f\|_{L^{1}(\mathbb{R}^{n})} \end{eqnarray}

Por lo tanto, $$\int_{\mathbb{R}^{n}} \int_{\mathbb{R}^{n}}|F(x,y)|dxdy=\|\phi\|_{L^{1}(\mathbb{R}^{n})}\|f\|_{L^{1}(\mathbb{R}^{n})} $$

Por el teorema de Tonelli (véase Brezis - Functional Analyis, Sobolev Spaces and PDE, página 91) $F\in L^{1}(\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n})$ .

Entonces, por el teorema de Fubini (véase Brezis - Functional Analyis, Sobolev Spaces and PDE, página 91), tenemos para todo $\phi\in C^{\infty}_{C}(\mathbb{R}^{n})$

\begin{eqnarray} \int_{\mathbb{R}^{n}} \int_{\mathbb{R}^{n}}f(x-y)\phi(y)dydx &=& \int_{\mathbb{R}^{n}} \int_{\mathbb{R}^{n}}f(x-y)\phi(y)dxdy \nonumber \\ &=& \|\phi\|_{L^{1}(\mathbb{R}^{n})}\|f\|_{L^{1}(\mathbb{R}^{n})}\\ &=& 0 \end{eqnarray}

Por lo tanto, $f=0$ .