Si $x=\prod^{27}_{n=1}(1+\frac{2}{n})$ entonces encuentra $13x$ - Ramanujan Matemáticas olmpiada 2013

Question

He probado esto: $$x=\prod^{27}_{n=1}(1+\frac{2}{n})=(1+\frac{2}{1})(1+\frac{2}{2})(1+\frac{2}{3})\ldots(1+\frac{2}{27})=\frac{3}{1}\cdot\frac{4}{2}\cdot\frac{5}{3}\cdots\frac{29}{27}$$ Entonces los términos se anulan. Pero no obtengo la respuesta correcta.

Answer 1

Como ha señalado, $$x=\frac31\cdot\frac42\cdot\frac53\cdots\frac{29}{27}=\frac11\cdot\frac12\cdot\frac{28}1\cdot\frac{29}1=406$$ por lo que $$13x=13\cdot406=5278$$

Answer 2

Esta es la definición del coeficiente binomial o combinación de argumentos $29$ y $27$ : $$x={29\choose27}={29\choose29-27}={29\choose2}=\frac{29\cdot28}{1\cdot2}=29\cdot14=406\iff13x=5278.$$