Dejemos que $A \in \mathbb{R}^{b \times b}$ sea una matriz con entradas no negativas. Supongamos que $A$ es invertible. Supongamos además que todas las entradas diagonales de $A$ son no nulos. Mi reclamación es la siguiente: $$\text{bin}(A^{-1})=\text{bin}(A^{b-1})\,,$$ donde $\text{bin}: \mathbb{R}^{b \times b}\rightarrow \{0,1\}^{b \times b}$ da el patrón de dispersión binaria de $A$ en el sentido de que una entrada de la matriz $\text{bin}(A)$ est $1$ si y sólo si la entrada correspondiente de $A$ es diferente de $0$ . Por ejemplo $$\text{bin}\left(\begin{bmatrix}1&2&0\\0&2&1\\1&0&2\end{bmatrix}^{-1}\right)=\text{bin}\left(\begin{bmatrix}1&2&0\\0&2&1\\1&0&2\end{bmatrix}^2\right)=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}\,.$$
Obsérvese que, por el teorema de Cayley-Hamilton y el hecho de que la diagonal de $A$ está lleno, espero que cualquier contraejemplo a mi afirmación sea tal que una entrada de $\text{bin}(A^{-1})$ est $0$ mientras que la misma entrada de $\text{bin}(A^{b-1})$ est $1$ .
