Por qué utilizar $\infty$ -categorías por encima de las categorías de modelos?

Question

Digamos que sé (a grandes rasgos) cómo las categorías derivadas nos ayudan a resolver problemas. Después de todo queremos considerar complejos de cadenas hasta la equivalencia de homotopía, y la categoría derivada nos permite literalmente hacer eso. Además, dado que la categoría de módulos se incrusta en la categoría de complejos en cadena (acotados), las estructuras modelo (inyectivas o proyectivas) de la categoría derivada nos permiten calcular $\text{Ext}$ y $\text{Tor}$ (por ejemplo), y definitivamente me convencen de que son interesantes y útiles.

Pero oigo a mucha gente hablar de que, en lugar de localizar completamente, deberíamos estar pendientes de cómo se invierten nuestras equivalencias débiles. Todo esto se agrupa en el $\infty$ -categoría (propiamente $(\infty,1)$ -categoría) asociada a una categoría de modelo (más generalmente una categoría relativa).

Entiendo (a grandes rasgos) cómo funciona este proceso de localización, pero no y aún así entender por qué debería importarme. ¿Qué problemas se facilitan al considerar la $\infty$ -categoría $L(\mathcal{C}, \mathcal{W})$ en lugar de la localización $\mathcal{C}[\mathcal{W}^{-1}]$ ? Conozco la analogía de que "las categorías de modelos son como los gráficos de coordenadas de $\infty$ -categorías", así que tal vez no haya muchos beneficios computacionales en el uso de este lenguaje.

Sin embargo, si no resuelve los problemas directamente, ¿hay razones conceptuales para utilizar el lenguaje de $\infty$ -¿Categorías? Estaría perfectamente dispuesto a creer que es más fácil construir " $\infty$ -categorías functoras", por ejemplo, que construir una "categoría functora de modelos entre categorías de modelos"... Pero si ese es el caso, me gustaría tener una buena razón para preocuparme por $\infty$ -categorías de funtores incluidas en la respuesta. Tengo una sensación intuitiva de por qué nos puede importar (ya que me importa la teoría de 1 categoría) pero ver un ejemplo me vendría bien.

Entonces:

¿Cuáles son algunos ejemplos, lo más concretos posible, que muestran cómo $L(\mathcal{C},\mathcal{W})$ es más fácil de trabajar (computacional o conceptualmente) que $\mathcal{C}[\mathcal{W}^{-1}]$ ?

Además, si hay alguna referencia que muestre cálculos explícitos con $\infty$ -categorías, idealmente para resolver problemas o dar una visión que una categoría de modelo desnudo no podría hacer, me encantaría escucharlas también.

Además, aunque mi pregunta viene desde el punto de vista de las categorías derivadas en el álgebra, estaría (por supuesto) interesado en ejemplos desde el lado topológico también.

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Gracias de antemano. ^_^

Answer 1

Una construcción importante en una categoría derivada $\mathcal{D}$ es el cono de mapeo $cone(f)$ de un morfismo $f:X \to Y$ en $\mathcal{D}$ . Es decir, a cada $f$ como en el caso anterior, nos gustaría asociar un triángulo exacto

$$X \longrightarrow Y \longrightarrow cone(f) \longrightarrow X[1]$$

con la propiedad de que la composición $X \to cone(f)$ es $0$ . Además, pedimos que siempre que haya un mapa $Y \to Z$ de manera que la composición $X \to Y \to Z$ es cero, existe un mapa $cone(f) \to Z$ haciendo que el diagrama apropiado conmute. Afortunadamente, tal cosa siempre existe, y en realidad todo triángulo exacto resulta ser isomorfo a uno de ellos.

Observe que $cone(f)$ se comporta un poco como un objeto de cofibra o cociente. De hecho, si pudiéramos demostrar que el morfismo $cone(f) \to Z$ arriba siempre existió $\textit{uniquely}$ entonces el cono de $f$ sería literalmente su núcleo. Desgraciadamente no es así, y por lo tanto no hay una forma functorial de asignar a un morfismo su cono de mapeo.

La no-funcionalidad del cono de mapeo es uno de los problemas de las categorías derivadas que la noción de categorías infinitas nos permite sortear. La noción relajada de colímites en las categorías de infinito significa que ya no exigimos que los objetos universales estén definidos de forma única en la nariz, sino sólo hasta un espacio de elección contraíble. Como resultado, en el análogo categórico del infinito de una categoría derivada (es decir, una "estable" $\infty$ -), el "cono de mapeo" de un morfismo no es más que su cofibra, una construcción que es totalmente functorial.

Answer 2

Hay al menos dos aspectos distintos de la cuestión: uno es interno a $\infty$ /categorías de modelos, mientras que la otra es externo es decir, sobre la categoría de las categorías.

El aspecto interno se discute bastante a menudo (y también es muy importante): como se ha mencionado en otras respuestas, todo tipo de afirmaciones/construcciones que implican diagramas fallan en la categoría de homotopía (functorialidad de conos, de co/límites de homotopía, diagramas coherentes de homotopía, ...) o no son conceptualmente claras en las categorías de modelos (la propiedad universal de un único co/límite de homotopía).

Aunque son importantes, y tienen importancia conceptual, creo que no muestran necesariamente por qué $\infty$ -categorías son más adecuadas que las categorías de modelos : por ejemplo, la mayoría (aunque no todas) $\infty$ -Las categorías en las que uno computa significativamente co/límites de homotopía son co/completas, y así se puede satisfacer con una propiedad universal "global". Por supuesto, también hay aspectos internos en los que $\infty$ -las categorías son más convenientes, pero quiero centrarme en la siguiente parte de mi respuesta.

Se trata de la externo aspectos, concretamente cuando se habla de categorías en lugar de a categoría. Es un "conocimiento popular" que la teoría de las categorías se vuelve realmente útil cuando se aplica a varias categorías y funtores entre ellas. En este sentido, las categorías modelo fallan, no sólo porque no se puede considerar una categoría de funtores entre dos tales, sino también porque diagramas de las categorías de los modelos son algo complicado de entender conceptualmente. Por otro lado, los diagramas de (pequeñas o grandes) $\infty$ -Las categorías tienen mucho sentido y son realmente útiles. Por ejemplo, uno puede tomar co/límites de homotopía de $\infty$ -categorías y obtener fácilmente resultados y construcciones significativas, mientras que tomar co/límites de homotopía de categorías modelo parece un lío (ni siquiera sé si puede tener sentido).

Por ejemplo, la idea de que las gavillas cuasicoherentes en un esquema son una noción local está completamente construida en la afirmación de que $QCoh$ como un functor de (la categoría opuesta de) esquemas a $\infty$ -satisface el descenso de Zariski: $QCoh(X) \simeq \lim_{Spec(R)\to X} QCoh(Spec(R))$ .

Del mismo modo, se puede expresar el descenso de Galois como la afirmación de que $Mod_A \simeq (Mod_B)^{hG}$ pour $A\to B$ una extensión fiel de Galois.

Este tipo de herramienta significa que también puede aplicar la teoría de las categorías a sí misma que es uno de los lugares donde realmente brilla. Por ejemplo, puedes demostrar cosas sobre objetos de álgebra en $C$ y aplicarlo a $C= Cat_\infty$ o $Pr^L$ . Esto también es muy adecuado para definir objetos altamente estructurados, como las normas en la teoría de homotopía motivacional.

En mi opinión, este último aspecto, el externo, es el que realmente distingue los dos puntos de vista. Se puede hacer que los conos sean funcionales desde una perspectiva de teoría de categorías de modelos, y se puede hablar (hasta cierto punto) de co-límites de homotopía. Pero no se puede aplicar la teoría de la categoría de modelos a sí misma.

Answer 3

Hay bastantes razones que aparecen en el nLab: https://ncatlab.org/nlab/show/homotopy%20theory%20FAQ#what_is_the_homotopy_category_of_an_1category_what_are_its_limitations

Breve resumen:

• En la categoría de homotopía, los límites y colímites (con la excepción de casos sencillos como los productos y coproductos) no suelen existir. En cambio, el entorno de las categorías modelo y/o las cuasicategorías permite un manejo correcto de los límites y colímites.

• Peor aún, no hay forma de hablar de diagramas en la categoría de homotopía, salvo en los casos triviales. Por ejemplo, no podemos hablar de cuadrados conmutativos de homotopía utilizando categorías de homotopía, ya que los datos necesarios de una homotopía entre dos composiciones no se registran en la categoría de homotopía.

• La mayoría de las otras construcciones que se basan en (co)límites y diagramas fallan por razones similares.