Hola a todos, ¿Existe alguna forma general de construir una función periódica 2pi suave que desaparezca en un intervalo y tenga coeficientes de Fourier positivos? Y si eso fue demasiado específico puedo hacer esto más general preguntando si hay alguna caracterización general para funciones en el toro con coeficientes de Fourier positivos? Gracias.
Respuestas
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Claro. Dejemos que $f$ sea una función suave de valor real soportada en $A \subseteq [0,2\pi]$ . Entonces, denotando la convolución por $*$ tenemos:
- f*f s apoyado en la suma de Minkowski $A+A$
- f*f es suave
- $\widehat{f*f}(n) = |\hat{f}(n)|^2 \geq 0$ .
A partir de 1, si el soporte de $f$ es un intervalo pequeño, el soporte de $f*f$ será un intervalo ligeramente mayor. Evidentemente, el soporte de $f$ puede elegirse adecuadamente para que $f*f$ desaparecerá en cualquier intervalo especificado.
sdfwer
Puntos
13
Para hacer su pregunta más general aún, en cualquier grupo abeliano localmente compacto $G$ El teorema de Bochner dice que una función continua $f$ es la transformada inversa de Fourier de una medida positiva en el grupo dual si y sólo si $f$ es positiva definida, es decir $\sum_{n,m=1}^N c_n \overline{c_m} f(x_n - x_m) \ge 0$ para todos $c_1 \ldots c_N \in \mathbb C$ y $x_1 \ldots x_N \in G$
