Una buena visión general del problema se da en arXiv:1205.3740. Voy a resumir los puntos más importantes aquí.
Deje $d$ el número de dimensiones del espacio. A continuación, el operador de Laplace está dada por
$$
\Delta=\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{d-1}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\Delta_S\etiqueta{1}
$$
donde $\Delta_S$ es el operador de Laplace en el $d-1$ ámbito.
El Coulomb potencial está dada por la solución de
$$
-\Delta V=e\delta(\boldsymbol r)\etiqueta{2}
$$
que es resuelto por la
$$
V(r)=\frac{2(d/2-1)!}{(d-2)\pi^{(d-2)/2}}\frac{e}{r^{d-2}}\etiqueta{3}
$$
Una manera de mostrar que la expresión anterior es considerar la Ley de Gauss en $d$ dimensiones, es decir,$E(r)=e/\int_r\mathrm ds$, donde el área de la $d-1$ esfera puede ser encontrado aquí.
Con esto, la ecuación de Schrödinger lee
$$
\left[\frac{1}{2m}(-\Delta)+V(r)-E\ \ derecho]\psi(\boldsymbol r)=0\etiqueta{4}
$$
El problema tiene simetría esférica, por lo que, como de costumbre, podemos escribir
$$
\psi(r,\boldsymbol \theta)=\frac{1}{r^{(d-1)/2}}u(r)Y_\ell(\boldsymbol\theta)\etiqueta{5}
$$
donde $\boldsymbol \theta=(\theta,\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{d-2})$ y el poder $(d-1)/2$ $r$ es el elegido para eliminar el término lineal en $(1)$. El superspherical armónicos ($\sim$ polinomios de Gegenbauer) son la generalización de la costumbre de armónicos esféricos a $d$ dimensiones:
$$
\Delta_S Y_\ell+\ell(\ell+d-2)Y_\ell=0\etiqueta{6}
$$
A través de este formulario para $\psi$, la ecuación de Schrödinger se convierte en
$$
u"(r)+2m[E-V_\ell(r)]u(r)=0\etiqueta{7}
$$
donde el potencial efectivo es
$$
V_\ell=V(r)+\frac{1}{2m}\frac{\ell_d(\ell_d+1)}{r^2}\etiqueta{8}
$$
con $\ell_d=\ell+(d-3)/2$.
Ahora, este autovalor problema no tiene solución analítica conocida, por lo que debemos recurrir a métodos numéricos. Usted puede encontrar los valores numéricos de las energías en el arxiv artículo. Un punto importante que se aborda en el artículo es que no hay ninguna negativa autovalores de a $d\ge 4$, es decir, no hay enlazados a los estados en más de tres dimensiones. Pero para $d\ge 5$ no son estables órbitas, con energía positiva, con portado bien las funciones de onda.
Para responder a algunas de tus preguntas:
En general, usted necesita $d$ números cuánticos para $d$ dimensiones, modulo degeneraciones. En el caso del átomo de hidrógeno en 3D, hay la simetría esférica, y el accidental simetría$^1$, por lo que sólo se necesita un número cuántico. En $d$ dimensiones de la simetría esférica sigue siendo, pero creo que la accidental no, lo que podría significar que usted necesita $d-1$ números cuánticos para $d\neq 3$. Será necesario comprobar si el método de Runge-Lenz vector se conserva en $d$ dimensiones o no (se deja como ejercicio). Si este vector es en realidad conservadas, las energías dependerá $d-2$ números cuánticos.
Como no existe una solución analítica para el radial de la ecuación de Schrödinger, no lo sabemos. En el caso de $d=3$ dimensiones, la de Bohr-Sommerfeld cuantificación de la regla resulta ser exacta. Pudimos comprobar lo que este plan prevé, para $E_n$ (a pesar de que no podíamos saber si será exacto o no: debemos comparar con los resultados numéricos).
Estos son bien conocidos por los matemáticos. Usted puede leer acerca de ellos en el artículo de la wikipedia.
En forma cerrada, no. No sé de una fórmula asintótica, pero debe ser bastante fácil que se derivan de la radial de la ecuación de Schrödinger, donde la centrífuga plazo $r^{-2}$ domina por $r\to\infty$, por lo que nos podemos descuidar el Coulomb plazo.
$^1$ Esféricas en los sistemas simétricos, el potencial depende de ni $\theta$ ni $\phi$. En estos sistemas de energías no dependen $m$, el número cuántico azimutal. Por lo tanto, en general, para la radial potenciales de las energías dependen de dos números cuánticos, $n,\ell$. En el caso específico de $V=1/r$, hay otro simetría, que es una especie de inesperado (o por lo menos no es muy intuitivo geométricamente). Al $V=1/r$ la simetría rotacional $SO(3)$ es ampliada en un $SO(4)$ simetría, y esta nueva simetría es conocido como accidental de simetría. Esta simetría hace que los niveles de energía independiente de $\ell$, $E=E_n$. Tenga en cuenta que esta simetría no está presente en el resto de la tabla periódica, es decir, multielectronic átomos, lo que hace que los niveles de energía dependen del momento angular (y por lo tanto, las reglas de Hund).
Uno puede ilustrar lo anterior como
\begin{aligned}
\text{If %#%#%} &\longrightarrow E=E_{n\ell m}\\
\text{If %#%#%}&\longrightarrow E=E_{n\ell}\\
\text{If %#%#%}&\longrightarrow E=E_{n}
\end{aligned}
La primera línea es el resultado general de sistemas 3D; la segunda línea es el resultado de simetría esférica; y la tercera línea es el resultado de la alteración de la simetría. Si desea leer más acerca de esta simetría, usted encontrará algunas buenas referencias en ¿por Qué la energía del hidrógeno niveles degenerados en $V=V(r,\theta,\phi)$$V=V(r)$? y/o aquí.
