Voy a enumerar las propiedades de una fila de triángulo de Pascal que se utilizará en la prueba.
1-Cada número de una fila determinada $n$ es divisible por el número de fila $n$ si el número de la fila es un primo, excepto, por supuesto, el primer y el último número $1$ .
2-La suma de todos los elementos de cualquier fila con número de fila n, incluyendo el primero y el último $1$ es $2^n$ . Este resultado es válido para un número de fila $n$ primo o compuesto. Esto significa que no necesitamos sumar todos los elementos de una fila para conocer el valor total de la suma. Basta con escribirlo para una fila determinada con un número de fila determinado $n$ .
Prueba: La prueba consiste en evaluar la siguiente cantidad: $T=(2^n -2)/n$ . Si el resultado es un número entero, podemos concluir que $n$ es un primo. Si el resultado no es un número entero, podemos concluir que $n$ es un número compuesto. Esta prueba evita el cálculo y la suma de los coeficientes binomiales para obtener la suma de todos los elementos de una fila determinada $n$ .
Ejemplos:
1-Para el número de fila $7$ tenemos $T=(2^7-2)/7=126/7=18$ y enteros así $7$ es un primo
2-Para el número de fila $15$ tenemos $T=(2^{15}-2)/15=32766/15=2184.40$ así que $15$ no es un primo.
¿Se puede demostrar este resultado?
Puedo imaginar una situación en la que, para grandes números, nos encontramos con $2$ o más elementos de una fila determinada $n$ inicialmente no divisible individualmente por $n$ que suman una suma que es divisible por $n$ . No sé lo suficiente como para demostrar que esto nunca ocurrirá en grandes cantidades.
¿Es un caso de "demasiado bueno para ser verdad"?
