4 votos

Ampliación de C2 en (0,0)

Estoy leyendo un texto en el que, en algún momento, el autor define la explosión de C2 en (0,0) como "un colector complejo ˆC2 obtenida mediante la identificación de dos copias de C2 de la siguiente manera: (x,t)(s,y)s=1t;y=tx para t0,s0 , donde (x,t) y (s,y) son las coordenadas de los ejemplares mencionados.

No puedo entender esta definición. ¿Puede alguien explicarme qué significa?

8voto

Ben Puntos 175

Una definición alternativa del reventón dado es la siguiente. Tomemos C2×CP1 con coordenadas ((z,w),[s:t]) y tomar el submanifold X={zt=ws} . Podemos restringir la proyección π:C2×CP1C2 a X , obteniendo πX:XC2 .

Observamos que π1((z,w),[s:t])=(z,w) pero si z0 (o w0 ), entonces zt=ws implica que t=ws/z (o s=zt/w ), por lo que [s:t] se determina por (z,w) si (z,w)(0,0) . Es decir, πX:Xπ1((0,0))C2{(0,0)} es una biyección (y en realidad un biholomorfismo).

¿Cuál es el conjunto π1((0,0)) ? Bueno, si z=w=0 entonces la ecuación zt=ws es cierto para cualquier elección de [s:t]CP1 Por lo tanto π1((0,0))=CP1 .

Ahora, demostremos que esto es lo mismo que su definición (la parte afín, al menos): consideremos el mapeo F:XCP2×CP2 dado por F((z,w),[s:t])={[zs:t:s],[s:tw:t])} entonces, como zt=ws tenemos que w=zt/s . Por lo tanto, la imagen de F en el conjunto afín s,t0 viene dada por las ecuaciones s=1/t y y=tx .

El último espacio, F(X) se puede ver fácilmente que es biholomorfo al encolado que has definido en la pregunta: toma los mapas f1,f2:C2CP2×CP2 dado por f1(a,b)=([a:b:1],[1:ab2:b]) y f2(a,b)=([a2b:1:a],[a:b:1]) son gráficos para F(X) son inyectivas y holomorfas y f12f1(a,b)=(1/b,ab) , si b0 . Cada colector se obtiene pegando las cartas con las relaciones inducidas por las funciones de transición, por lo tanto, el cociente descrito es exactamente el blow-up que describimos al principio.


En cuanto al significado geométrico, la ampliación de C2 en un punto puede verse como la siguiente operación: borramos el punto y de alguna manera separamos el direcciones que se desprende del punto, insertando, en el lugar del punto, el colector (a 1 -en este caso) correspondiente a todas las direcciones posibles desde el punto (que es, en realidad, el haz normal del punto como submanifold de C2 ); tal conjunto de direcciones corresponde a CP1 (de hecho, como la línea en el infinito de CP2 , la línea proyectiva compleja es exactamente las posibles direcciones de una línea en el plano proyectivo complejo).

Podrías imaginarlo como el avión subiendo en espiral, como una forma helicoidal, pero al final el fibra sobre el origen (el centro del helicoide tiene que ser compacto... así que en realidad es un poco difícil de calcular en tu mente.

Por favor, si esto te ha ayudado, no dudes en preguntar si quieres que sea más específico en algún aspecto.

3voto

Gabriel Puntos 261

Tal vez esto ayude.

Puedes pensar en la explosión de la siguiente manera. Es un espacio X con un mapa suryectivo π:XC2 que lejos del origen (y en general lejos del locus de explosión) es un isomorfismo. En otras palabras, por encima de todo punto que no sea el origen en C2 tiene precisamente una preimagen bajo π .

En el origen es donde ocurre la acción. Por encima de (0,0) debería ver una copia completa de P1 . La forma en que me gusta pensar en esto es que estás parametrizando las líneas que pasan por el origen por su pendiente.

La descripción que cita debería coincidir con esto.

También puedes pensar en la explosión X como un subconjunto de C2×P1 . Puedes ser muy concreto con esto en coordenadas si quieres, ya que tenemos coordenadas en ambos C2 y P1 . Así que X={((x0,x1),(y0:y1)):x0y1=x1y0} . Esto también concuerda con la descripción que has hecho.

Sí, se trata de un colector complejo de dimensión, de hecho también es una variedad algebraica. Así que sí, el resultado es que cuando usted sopla usted está cambiando la geometría de su espacio cerca del centro de la explosión (en este caso el origen), pero lejos de este llamado locus excepcional, usted tiene un isomorfismo.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X