Una definición alternativa del reventón dado es la siguiente. Tomemos C2×CP1 con coordenadas ((z,w),[s:t]) y tomar el submanifold X={zt=ws} . Podemos restringir la proyección π:C2×CP1→C2 a X , obteniendo πX:X→C2 .
Observamos que π1((z,w),[s:t])=(z,w) pero si z≠0 (o w≠0 ), entonces zt=ws implica que t=ws/z (o s=zt/w ), por lo que [s:t] se determina por (z,w) si (z,w)≠(0,0) . Es decir, πX:X∖π−1((0,0))→C2∖{(0,0)} es una biyección (y en realidad un biholomorfismo).
¿Cuál es el conjunto π−1((0,0)) ? Bueno, si z=w=0 entonces la ecuación zt=ws es cierto para cualquier elección de [s:t]∈CP1 Por lo tanto π−1((0,0))=CP1 .
Ahora, demostremos que esto es lo mismo que su definición (la parte afín, al menos): consideremos el mapeo F:X→CP2×CP2 dado por F((z,w),[s:t])={[zs:t:s],[s:tw:t])} entonces, como zt=ws tenemos que w=zt/s . Por lo tanto, la imagen de F en el conjunto afín s,t≠0 viene dada por las ecuaciones s=1/t y y=tx .
El último espacio, F(X) se puede ver fácilmente que es biholomorfo al encolado que has definido en la pregunta: toma los mapas f1,f2:C2→CP2×CP2 dado por f1(a,b)=([a:b:1],[1:ab2:b]) y f2(a,b)=([a2b:1:a],[a:b:1]) son gráficos para F(X) son inyectivas y holomorfas y f−12f1(a,b)=(1/b,ab) , si b≠0 . Cada colector se obtiene pegando las cartas con las relaciones inducidas por las funciones de transición, por lo tanto, el cociente descrito es exactamente el blow-up que describimos al principio.
En cuanto al significado geométrico, la ampliación de C2 en un punto puede verse como la siguiente operación: borramos el punto y de alguna manera separamos el direcciones que se desprende del punto, insertando, en el lugar del punto, el colector (a 1 -en este caso) correspondiente a todas las direcciones posibles desde el punto (que es, en realidad, el haz normal del punto como submanifold de C2 ); tal conjunto de direcciones corresponde a CP1 (de hecho, como la línea en el infinito de CP2 , la línea proyectiva compleja es exactamente las posibles direcciones de una línea en el plano proyectivo complejo).
Podrías imaginarlo como el avión subiendo en espiral, como una forma helicoidal, pero al final el fibra sobre el origen (el centro del helicoide tiene que ser compacto... así que en realidad es un poco difícil de calcular en tu mente.
Por favor, si esto te ha ayudado, no dudes en preguntar si quieres que sea más específico en algún aspecto.