Ampliación de $\mathbb{C}^2$ en $(0,0)$

Question

Estoy leyendo un texto en el que, en algún momento, el autor define la explosión de $\mathbb{C}^2$ en $(0,0)$ como "un colector complejo $\hat{\mathbb{C}}^2$ obtenida mediante la identificación de dos copias de $\mathbb{C}^2$ de la siguiente manera: $$(x,t)\sim(s,y)\iff s=\dfrac{1}{t};y=tx$$ para $t\neq 0,s\neq 0$ , donde $(x,t)$ y $(s,y)$ son las coordenadas de los ejemplares mencionados.

No puedo entender esta definición. ¿Puede alguien explicarme qué significa?

Answer 1

Una definición alternativa del reventón dado es la siguiente. Tomemos $\mathbb{C}^2\times\mathbb{CP}^1$ con coordenadas $((z,w),[s:t])$ y tomar el submanifold $X=\{zt=ws\}$ . Podemos restringir la proyección $\pi:\mathbb{C}^2\times\mathbb{CP}^1\to\mathbb{C}^2$ a $X$ , obteniendo $\pi_X:X\to\mathbb{C}^2$ .

Observamos que $\pi_1((z,w),[s:t])=(z,w)$ pero si $z\neq0$ (o $w\neq 0$ ), entonces $zt=ws$ implica que $t=ws/z$ (o $s=zt/w$ ), por lo que $[s:t]$ se determina por $(z,w)$ si $(z,w)\neq(0,0)$ . Es decir, $\pi_X:X\setminus \pi^{-1}((0,0))\to\mathbb{C}^2\setminus\{(0,0)\}$ es una biyección (y en realidad un biholomorfismo).

¿Cuál es el conjunto $\pi^{-1}((0,0))$ ? Bueno, si $z=w=0$ entonces la ecuación $zt=ws$ es cierto para cualquier elección de $[s:t]\in\mathbb{CP}^1$ Por lo tanto $\pi^{-1}((0,0))=\mathbb{CP}^1$ .

Ahora, demostremos que esto es lo mismo que su definición (la parte afín, al menos): consideremos el mapeo $F:X\to\mathbb{CP}^2\times\mathbb{CP}^2$ dado por $$F((z,w),[s:t])=\{[zs:t:s],[s:tw:t])\}$$ entonces, como $zt=ws$ tenemos que $w=zt/s$ . Por lo tanto, la imagen de $F$ en el conjunto afín $s,t\neq 0$ viene dada por las ecuaciones $s=1/t$ y $y=tx$ .

El último espacio, $F(X)$ se puede ver fácilmente que es biholomorfo al encolado que has definido en la pregunta: toma los mapas $f_1, f_2:\mathbb{C}^2\to\mathbb{CP}^2\times\mathbb{CP}^2$ dado por $f_1(a,b)=([a:b:1],[1:ab^2:b])$ y $f_2(a,b)=([a^2b:1:a], [a:b:1])$ son gráficos para $F(X)$ son inyectivas y holomorfas y $f_2^{-1}f_1(a,b)=(1/b, ab)$ , si $b\neq0$ . Cada colector se obtiene pegando las cartas con las relaciones inducidas por las funciones de transición, por lo tanto, el cociente descrito es exactamente el blow-up que describimos al principio.

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En cuanto al significado geométrico, la ampliación de $\mathbb{C}^2$ en un punto puede verse como la siguiente operación: borramos el punto y de alguna manera separamos el direcciones que se desprende del punto, insertando, en el lugar del punto, el colector (a $1$ -en este caso) correspondiente a todas las direcciones posibles desde el punto (que es, en realidad, el haz normal del punto como submanifold de $\mathbb{C}^2$ ); tal conjunto de direcciones corresponde a $\mathbb{CP}^1$ (de hecho, como la línea en el infinito de $\mathbb{CP}^2$ , la línea proyectiva compleja es exactamente las posibles direcciones de una línea en el plano proyectivo complejo).

Podrías imaginarlo como el avión subiendo en espiral, como una forma helicoidal, pero al final el fibra sobre el origen (el centro del helicoide tiene que ser compacto... así que en realidad es un poco difícil de calcular en tu mente.

Por favor, si esto te ha ayudado, no dudes en preguntar si quieres que sea más específico en algún aspecto.

Answer 2

Tal vez esto ayude.

Puedes pensar en la explosión de la siguiente manera. Es un espacio $X$ con un mapa suryectivo $\pi:X\to \mathbb C^2$ que lejos del origen (y en general lejos del locus de explosión) es un isomorfismo. En otras palabras, por encima de todo punto que no sea el origen en $\mathbb C^2$ tiene precisamente una preimagen bajo $\pi$ .

En el origen es donde ocurre la acción. Por encima de $(0,0)$ debería ver una copia completa de $\mathbb P^1$ . La forma en que me gusta pensar en esto es que estás parametrizando las líneas que pasan por el origen por su pendiente.

La descripción que cita debería coincidir con esto.

También puedes pensar en la explosión $X$ como un subconjunto de $\mathbb C^2\times \mathbb P^1$ . Puedes ser muy concreto con esto en coordenadas si quieres, ya que tenemos coordenadas en ambos $\mathbb C^2$ y $\mathbb P^1$ . Así que $X = \{((x_0,x_1),(y_0:y_1)): x_0y_1=x_1y_0\}$ . Esto también concuerda con la descripción que has hecho.

Sí, se trata de un colector complejo de dimensión, de hecho también es una variedad algebraica. Así que sí, el resultado es que cuando usted sopla usted está cambiando la geometría de su espacio cerca del centro de la explosión (en este caso el origen), pero lejos de este llamado locus excepcional, usted tiene un isomorfismo.