En el entorno general, el lugar de ramificación se define como el soporte de $\Omega_{X/Y}$ Véase, por ejemplo aquí . Esto es importante cuando trabajamos en el mundo general de los esquemas - hay morfismos de esquemas que son finitos de grado $d$ y sin ramificar, pero no todas las fibras están formadas por $d$ puntos: $\operatorname{Spec} \Bbb Q[T,T^{-1},Y]/(Y^d-T) \to \operatorname{Spec} \Bbb Q[T,T^{-1}]$ es unramificado de grado $d$ (¡incluso etale!), pero la fibra sobre $(T-1)$ tiene un punto por cada divisor de $d$ . También hay que aclarar que el lugar de ramificación de un morfismo $f:X\to Y$ está en $X$ mientras que el locus de la rama es su imagen bajo $f$ (y por lo tanto se encuentra en $Y$ ).
En este caso especial en el que $X,Y$ son variedades irreducibles sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ demostraremos que los puntos cerrados $x\in X$ con $(\Omega_{X/Y})_x \neq 0$ son exactamente esos puntos para que $f(x)$ tiene $<d$ preimágenes. Sea $y\in Y$ sea un punto cerrado, y consideremos la inclusión $i:\{y\}\to Y$ . Tomando el cambio de base $i':X_y = X\times_Y \{y\}\to X$ vemos que $(i')^*\Omega_{X/Y} \to \Omega_{X_y/\{y\}}$ es un isomorfismo (por aquí por ejemplo), y por las propiedades del pullback, podemos calcular tallos de $\Omega_{X/Y}$ mediante el cálculo de los tallos de $\Omega_{X_y/\{y\}}$ en el punto adecuado.
Para calcular los tallos de $\Omega_{X_y/\{y\}}$ en cada punto de $X_y$ En primer lugar, observamos que $X_y$ es el espectro de un $k$ -Álgebra $A$ que tiene la dimensión $d$ como $k$ -espacio vectorial. Esto implica que $A$ es artiniano, por lo que es un producto finito de anillos locales artinianos $A_1\times\cdots\times A_m$ con $m\leq d$ . Si $m=d$ entonces $A_i\cong k$ para todos $i$ y es fácil ver que el tallo en cada uno de estos puntos es cero. A la inversa, si $m<d$ , entonces uno de los $A_i$ tiene un ideal máximo no nulo. Pero el ideal máximo de un anillo local artiniano está formado por elementos nilpotentes, y para cualquier elemento nilpotente no nulo $x$ tenemos que $dx$ representa una clase no nula en $\Omega_{A_1/k}$ y por tanto una clase no nula en el tallo de $\Omega_{X/Y}$ en el punto correspondiente al ideal máximo dentro de $A_1$ .
