El centro de un grupo con una representación irreducible fiel es cíclico

Question

Lo siguiente está tomado de la sección 3.1 de $\textit{Représentations linéaires des groupes finis}$ por J.-P. Serre:

Ejercicio 2) Sea $\rho$ sea una representación irreducible de $G$ de grado $n$ y el carácter $\chi$ ; deja que $C$ sea el centro de $G$ ( $\textit{i.e.}$ el conjunto de $s \in G$ tal que $st=ts$ para todos $t \in G$ .), y que $c$ sea el orden de $C$ .

c) Demuestre que si $\rho$ es fiel ( $\textit{i.e.}$ $\rho_s \neq 1$ pour $s \neq 1$ ), entonces $C$ es cíclico.

Ahora bien, si dejamos que $G=C_2\times C_3 = \{\sigma,\tau \mid \sigma^2=\tau^3=e, \sigma\tau=\tau\sigma \}$ podemos definir la siguiente representación irreducible $\rho:G \to \mathbb{C}^{\times}$ : $$\begin{equation} \rho(\sigma)=-1, \qquad \rho(\tau) = \omega \end{equation}$$ donde $\omega \in \mathbb{C}^{\times}$ es una raíz tercera primitiva de la unidad.

$\rho$ es una representación irreducible fiel y $G$ al ser abeliana, coincide con su propio centro. Por lo tanto, su centro no es cíclico.

¿Por qué no es un contraejemplo?

Answer 1

$G$ es un grupo cíclico. Por el Teorema del Resto Chino, si $m$ y $n$ son relativamente primos, $C_m \times C_n \cong C_{mn}$ .