Identidad integral del lema contenido en el documento infoGAN

Question

Me he encontrado con un lema en el Papel de infoGAN . No entiendo la derivación del Lemma 5.1 en el apéndice del documento. Dice lo siguiente (incluido como png):

No entiendo el último paso. ¿Por qué se puede tirar $f(x,y)$ en la integral más interna, transformándola en $f(x',y)$ ? ¿Cuáles son las condiciones de regularidad adecuadas de $f$ ?

Answer 1

Considere la diferencia $$ D = \int_x \int_y P(x,y) \int_{x'} P(x'|y) \left[ f(x,y) - f(x',y) \right] \, dx' dx dy $$ que se obtiene al desplazar $f(x,y)$ en el $x'$ integral, y tomando la diferencia con $x$ sustituido por $x'$ . Condicionalizar $x$ en $y$ , $$ D = \int_y P(y) \int_x \int_{x'} P(x|y) P(x'|y) \left[ f(x,y) - f(x',y) \right] \, dx' dx dy. $$ Este objeto interior $$ \delta = \int_x \int_{x'} P(x|y) P(x'|y) \left[ f(x,y) - f(x',y) \right] \, dx' dx $$ es antisimétrica tras intercambiar las variables ficticias $x$ y $x'$ , convirtiéndose en su propio negativo, por lo que es igual a cero. Sospecho que las condiciones de regularidad son simplemente las que impiden que estas integrales diverjan.

Answer 2

O, después de la tercera fila \begin{align} &=\int_x\int_yp(x|y)p(y)f(x,y)\int_{x'}p(x'|y)dx'dydx\\ &=\int_x\int_yp(x|y)f(x,y)\int_{x'}p(x',y)dx'dydx. \end{align}

Intercambiar $x$ y $x'$ entonces intercambia el orden de las variables. Hecho

Answer 3

Bueno, creo que será más intuitivo si derivamos la ecuación a la inversa como

\begin{align*} E_{x \sim X, y \sim Y|x, x' \sim X|y} \left[ f(x', y) \right] & = \int_x p(x) \int_y p(y|x) \int_{x'} p(x'|y) f(x', y) dx'dydx \\ & = \int_y p(y) \int_x p(x|y) \int_{x'} p(x'|y) f(x', y) dx'dxdy \\ & = \int_y p(y) \int_{x'} p(x'|y) f(x', y) \underbrace{\int_x p(x|y) dx}_{=1}dx'dy \\ & = \int_y p(y) \int_{x} p(x|y) f(x, y) dxdy \\ & = \int_x p(x) \int_{y} p(y|x) f(x, y) dydx \\ & = E_{x \sim X, y \sim Y|x} \left[ f(x, y) \right] \end{align*}

Answer 4

La afirmación $$ E_{x \sim X, y \sim Y|x} \left[ f(x, y) \right] = E_{x \sim X, y \sim Y|x, x' \sim X|y} \left[ f(x', y) \right]\tag1 $$ está diciendo realmente:

Si el vector aleatorio $(X,Y,X')$ tiene una distribución conjunta $$P_{X,Y,X'}(x,y,z)=P_X(x)P_{Y|X}(y|x)P_{X|Y}(z|y),\tag2$$ entonces $E[f(X,Y)] = E[f(X',Y)]$ .

El resultado se desprende del hecho de que $(X,Y)$ tiene la misma distribución que $(X',Y)$ , que se ve desde: $$P_{X'|Y}(z|y)=\int_x\frac{ P_{X,Y,X'}(x,y,z)}{P_Y(y)}\,dx\stackrel{(2)}= \int_x P_{X|Y}(x|y)P_{X|Y}(z|y)\,dx=P_{X|Y}(z|y).$$ Aquí no se requiere mucha regularidad además de la existencia de la expectativa $Ef(X,Y)$ .