Esta respuesta se acerca. Dada una definición específica de "transformación conforme", esta respuesta muestra que la ausencia de trazos del tensor de tensiones implica la invariancia conforme de la acción sin utilizar ninguna ecuación de movimiento . Sin embargo, esta respuesta no es completa por dos razones. En primer lugar, la transformación conformacional (ecuación (7)) no tiene en cuenta las posibles "dimensiones de escala" de los campos. En segundo lugar, no comenta la relación entre el lenguaje de la "invariancia de Weyl" y la "invariancia conformacional". No sé cómo abordar ninguno de los dos aspectos sin adivinar. Esta respuesta sólo considera las transformaciones conformes, es decir, una transformación de la campos dinámicos cuya forma está motivada por cómo una transformación de coordenadas conforme afectaría a esos campos. Esta definición se repetirá a continuación cuando se utilice.
Considere la acción $$ S = \int d^Dx\ \big(\text{integrand}\big) \tag{1} $$ donde el integrando implica un campo escalar dinámico $\phi(x)$ y una métrica de fondo prescrita $g_{ab}(x)$ . El campo escalar dinámico $\phi$ es un campo clásico, no un campo cuántico. Bajo variaciones arbitrarias de $\phi$ y $g_{ab}$ el efecto sobre la acción es $$ \delta S = \delta_\phi S + \delta_g S, \tag{2} $$ donde $\delta_\phi S$ es la parte debida a $\delta\phi$ y $\delta_g S$ es la parte debida a $\delta g_{ab}$ . Estamos pensando en la métrica como un fondo prescrito, no como una entidad dinámica, pero aún así podemos preguntarnos cómo se ve afectada la acción cuando la variamos. El tensor $T^{ab}$ se define por $$ \delta_g S \propto \int \sqrt{g}\, T^{ab}\delta g_{ab}. \tag{3} $$ La clave de esta respuesta es considerar cuidadosamente lo que implica la definición (3). Cuando hablamos de invariancia conformacional, estamos asumiendo implícitamente una métrica de fondo prescrita con respecto a la cual se define "conforme". Para utilizar (3), generalizamos temporalmente la acción a una métrica arbitraria, luego aplicamos la definición (3), y después establecemos la métrica igual a la métrica de fondo deseada - como la métrica plana. La generalización temporal a una métrica arbitraria no es única, y por tanto tampoco lo es $T^{ab}$ (no son todas sin trazas), pero eso no viene al caso. El punto es mostrar que si la generalización se elige de manera que $T^{ab}$ no tiene traza, entonces la acción de la métrica fija es invariante bajo transformaciones conformes de los campos $\phi$ solo.
Cuando generalizamos $S$ a una métrica arbitraria, sea cual sea la generalización que utilicemos, se entiende que la generalización se elige de forma que $S$ sería invariante bajo difeomorfismos (definidos más adelante) si la métrica $g_{ab}$ eran uno de los campos dinámicos. En otras palabras, se entiende que estamos promoviendo temporalmente la acción relativista general acción, incluso incluyendo un término de Einstein-Hilbert si queremos (pero eso no afectará a ninguna de las conclusiones si la métrica fija es plana).
Por "difeomorfismo" me refiero a cualquier transformación de los campos+métrica ( $\phi$ y $g_{ab}$ ) que concuerda con el efecto de cualquier transformación de coordenadas, entendiendo que son campos tensoriales por lo que la transformación de coordenadas se les retira / adelanta de la forma habitual. Lo importante aquí es que pensemos en esto como una transformación de la campos+métricos no es una transformación de las coordenadas, porque la acción $S$ no es una función de coordenadas. (Las coordenadas son sólo variables de integración ficticias.) En otras palabras, es importante que sólo transformemos el integrante de (1), no la medida $d^Dx$ . Estos son los "difeomorfismos" bajo los cuales el $S$ debe ser invariante, como en la relatividad general.
Generalizando $S$ de esta manera es un requisito previo para utilizar (3) para definir $T^{ab}$ . Un subproducto de la generalización $S$ de esta manera es que satisface $$ \delta S=0 \tag{4} $$ para un difeomorfismo infinitesimal arbitrario $(\delta\phi,\,\delta g_{ab})$ . Aquí no se necesitan ecuaciones de movimiento; la acción se construye para ser idénticamente invariante bajo tales transformaciones. Las ecuaciones (2)-(4) implican $$ \delta_\phi S = - \delta_g S \propto \int \sqrt{g}\, T^{ab}\delta g_{ab}. \tag{5} $$ Ahora, especializa la métrica a la métrica fija deseada, y especializa la variación $(\delta\phi,\,\delta g_{ab})$ para ser una transformación conforme, que (por definición) es un difeomorfismo para el que $$ \delta g_{ab}(x)=\epsilon(x) g_{ab}(x) \tag{6} $$ para algunos $\epsilon(x)$ . La correspondiente transformación del campo dinámico $\phi$ es $$ \delta\phi(x)=\epsilon^a(x)\partial_a\phi(x), \tag{7} $$ donde $\epsilon^a(x)$ está relacionado con $\epsilon(x)$ de una manera particular. Utilizando (6) en (5) y asumiendo $T^a_a=0$ da el resultado deseado $\delta_\phi S=0$ que dice que $S$ es conformemente invariante. Las ecuaciones de movimiento no son necesarias para esto.
