La transposición de una inyección lineal es sobreyectiva.

Question

Dejemos que $$T:V\longrightarrow W$$ sea un mapa lineal (de espacios vectoriales), y sea \begin{eqnarray} T^*:W^* &\longrightarrow& V^* \\ f\ &\longmapsto& f\circ T \end{eqnarray} sea su transposición (o mapa dual).

Cómo demostrar que si $T$ es inyectiva entonces $T^*$ debe ser suryente, y que si $T$ es suryente entonces $T^*$ debe ser inyectiva?

Answer 1

Si $T$ es inyectiva entonces tiene una inversa $T^{-1}:T(V)\rightarrow V$ . Tome $v\in V^\star$ y definir $f\in W^\star$ por $f(x)=v(T^{-1}(x))$ . Entonces $T^\star(f)=f\circ T=v\circ T^{-1}\circ T=v$ . Por lo tanto, $T^{*}$ es suryente.

Por otro lado, supongamos que $T$ es sobreyectiva. Si $T^\star f=T^\star g$ entonces $f(T(x))=g(T(x))$ para todos $x\in V$ . Por lo tanto, $(f-g)(T(x))=0$ para todos $x\in V$ . Porque $T$ es sobreyectiva se puede concluir que $f-g=0$ o $f=g$ .

Answer 2

Para el caso en que $T$ es inyectiva, supongamos que $a \in V^*$ . Definiremos $b \in W^*$ tal que $T^*(b) = b\circ T = a$ . Sea $W = T(V) \oplus W'$ , es decir , $W'$ es el subespacio complementario de $T(V)$ en $W$ . Para cada $w \in W$ , divídelo en $w = T(v) + w'$ donde $v \in V$ y $w' \in W'$ . Esta descomposición es única (una vez $W'$ se elige y se fija). Dado que $T$ es inyectiva, el mapa $w \mapsto v$ está bien definida, por lo que podemos definir $b(w) = b(T(v) + w') = a(v)$ . Es fácil comprobar que ahora $(b \circ T)(v) = b(T(v)) = a(v)$ para todos $v \in V$ .

Para el caso en que $T$ es suryente, supongamos que $b \in \ker(T^*)$ , es decir , $(b \circ T)(v) = 0$ para todos $v$ . Por la subjetividad de $T$ Esto implica $b(W) = 0$ y así $b = 0$ . Por lo tanto, $\ker(T^*) = 0$ .

Answer 3

Solución parcial:

$T$ es inyectiva $\implies T^*$ es suryente: Elija $f\in V^*.$ Tenemos que averiguar (utilizando la inyectividad de $T$ ) una transformación lineal $f':W\to F$ tal que $f'T=f.$ Intentemos reducir un poco más el problema propuesto utilizando el hecho de que dos transformaciones lineales coinciden en todas partes si y sólo si coinciden en una base del espacio vectorial considerado como dominio. Así, nuestra tarea reducida es encontrar una transformación lineal $f':W\to F$ tal que $Tf'=f$ sobre una base elegida de $V.$ El problema puede reducirse un poco más a definir $f'$ utilizando el hecho de que cualquier mapeo definido en una base de un espacio vectorial se extiende a una única transformación lineal. Así, nuestro objetivo es definir $f'$ sobre la base de $W$ tal que el efecto del mapa compuesto $f'T$ sobre la base es idéntica a la de $f.$ ¿Cómo se puede hacer? Naturalmente, considerando el efecto de la preimagen cuando existe (y aquí entra en juego la inyectividad) y anulando el efecto en caso contrario. ¿Se puede construir $f'$ ¿Ahora?

Answer 4

Para cualquier operador lineal $T$ , $\ker T = (\mathrm{range}(T^*))^\perp.$

Si $T$ es inyectiva, entonces $$0 = \ker T = (\mathrm{range}(T^*))^\perp\mathrm{, and} $$ $$0^\perp = \mathrm{range}(T^*), \mathrm{so}$$ $T^*$ es suryente.

La prueba de que $T$ implica que $T^*$ inyectiva es similar.