¿Desigualdad en espacio gaussiano--posiblemente demostrable por cambio?

Question

El siguiente problema surgió por mis colaboradores y a mí a la hora de estudiar la complejidad computacional de la Máxima Corte del problema.

Deje $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser una función impar. Deje $\rho \in [0,1]$. Deje $X$ $Y$ estándar Gaussianas con covarianza $\rho$. Demostrar que $\mathbf{E}[f(X)f(Y)]$ ≤ $\mathbf{E}[f(X)^2 \mathrm{sgn}(X) \mathrm{sgn}(Y)]$.

La cantidad en la mano izquierda surge de forma natural en muchos contextos; por ejemplo, es la integral de la $f(x)f(y)$ contra el Mehler kernel (con el parámetro $\rho$).

Tengo alguna razón para creer que esta desigualdad es verdadera. Para una pieza de evidencia, supongamos $f$'s de la gama es $\pm 1$. A continuación, la desigualdad se reduce a

$\mathbf{E}[f(X)f(Y)]$ ≤ $\mathbf{E}[\mathrm{sgn}(X) \mathrm{sgn}(Y)]$;

es decir, es como decir que el $\mathrm{sgn}$ $\pm 1$valores impares de la función de la maximización de la LHS. Este hecho es cierto; se sigue a partir de un resultado de Christer Borell ("Geométrico de los límites en la Ornstein-Uhlenbeck, la velocidad de proceso"), demostrado por Ehrhard simetrización. También fue entregado una prueba por Beckner, la deducción es de un rearrangment la desigualdad en la esfera.

La segunda desigualdad se generaliza para el caso de funciones $f : \mathbb{R}^n \to$ {$-1,1$}, pero yo creo que la primera desigualdad, que me gustaría probar, es inherentemente $1$-dimensional.

Cualquier idea, o punteros a la literatura que podrían ayudar? Gracias!

Answer 1

Que es sólo Cuchy-Schwartz (aunque bastante bien oculto). Anotar todo en términos de la articulación de la densidad, cayendo irrelevante factores, y teniendo en cuenta que el $f(-t)=-f(t)$, vemos que la desigualdad en cuestión es equivalente a $$ \iint_{(0,+\infty)^2}e^{-\frac 12(x^2+y^2)} e^{\rho xy}-e^{-\rho xy})f(x)f(y)dxdy\le \iint_{(0,+\infty)^2}e^{-\frac 12(x^2+y^2)} e^{\rho xy}-e^{-\rho xy})f(x)^2 dxdy $$ Ahora, $$ e^{\rho xy}-e^{-\rho xy}=\sum_n c_n(\rho) x^ny^n $$ con $c_n(\rho)\ge 0$. Por lo tanto, es suficiente para mostrar que $$ \iint_{(0,+\infty)^2}e^{-\frac 12(x^2+y^2)}x^ny^nf(x)f(y)dxdy\le \iint_{(0,+\infty)^2}e^{-\frac 12(x^2+y^2)}x^ny^n f(x)^2 dxdy $$ Pero, desde el integrands son productos puros ahora, esto se reescribe como $$ \left[\int_{(0,+\infty)}e^{-\frac 12 x^2}x^n f(x)dx\right)^2\le \left[\int_{(0,+\infty)}e^{-\frac 12 x^2}x^n f(x)^2dx\right]\cdot \left[\int_{(0,+\infty)}e^{-\frac 12 x^2}x^n dx\right], $$ el que es puro de Cauchy-Schwartz.

Answer 2

Usando el antisymmetry de f y sgn para traer las expectativas a las expresiones integrales sobre [0, inf) x [0, inf), la primera esperanza toma la forma:

const * f (x) int del f(y) exp(-(x^2+y^2)/(2*(1-rho^2))) sinh(2*rho*x*y/(2*(1-rho^2))) dx dy

mientras que para el segundo caso f(y) se reemplaza por f (x).

La prueba se convierte en una aplicación de la desigualdad de Cauchy-Schwarz.