El siguiente problema surgió por mis colaboradores y a mí a la hora de estudiar la complejidad computacional de la Máxima Corte del problema.
Deje $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser una función impar. Deje $\rho \in [0,1]$. Deje $X$ $Y$ estándar Gaussianas con covarianza $\rho$. Demostrar que $\mathbf{E}[f(X)f(Y)]$ ≤ $\mathbf{E}[f(X)^2 \mathrm{sgn}(X) \mathrm{sgn}(Y)]$.
La cantidad en la mano izquierda surge de forma natural en muchos contextos; por ejemplo, es la integral de la $f(x)f(y)$ contra el Mehler kernel (con el parámetro $\rho$).
Tengo alguna razón para creer que esta desigualdad es verdadera. Para una pieza de evidencia, supongamos $f$'s de la gama es $\pm 1$. A continuación, la desigualdad se reduce a
$\mathbf{E}[f(X)f(Y)]$ ≤ $\mathbf{E}[\mathrm{sgn}(X) \mathrm{sgn}(Y)]$;
es decir, es como decir que el $\mathrm{sgn}$ $\pm 1$valores impares de la función de la maximización de la LHS. Este hecho es cierto; se sigue a partir de un resultado de Christer Borell ("Geométrico de los límites en la Ornstein-Uhlenbeck, la velocidad de proceso"), demostrado por Ehrhard simetrización. También fue entregado una prueba por Beckner, la deducción es de un rearrangment la desigualdad en la esfera.
La segunda desigualdad se generaliza para el caso de funciones $f : \mathbb{R}^n \to$ {$-1,1$}, pero yo creo que la primera desigualdad, que me gustaría probar, es inherentemente $1$-dimensional.
Cualquier idea, o punteros a la literatura que podrían ayudar? Gracias!