Encuentre la distribución asintótica del MME y del MLE.

Question

Pregunta: Dejemos que $X_1, ..., X_n$ sean variables aleatorias i.i.d con la función de densidad $$f(x|\theta) = (\theta+1)x^\theta, 0x1$$

Encuentre la distribución asintótica del MME y del MLE.

Mi suposición :

Sé por hacer una parte anterior en la pregunta que el:

a) MME: $\hat \theta$ = $\frac{1-2\bar X}{\bar X-1}$

b) MLE: $\hat \theta$ = $-1 -$ $\frac{n}{\sum_{i=1}^n \log (X_i)}$

Sin embargo, estoy un poco confundido en cuanto a lo que la pregunta está pidiendo para encontrar la distribución asintótica.

Se agradece cualquier ayuda. Gracias.

Answer 1

Piden una distribución aproximada para $\hat \theta$ como $n\to \infty.$

Un ejemplo clásico de una distribución asintótica es el teorema del límite central, que es una distribución asintótica para la media muestral $\bar X.$ El teorema del límite central dice que siempre que $\mathrm{Var}(X)$ existe y es menor que infinito, la media de la muestra se distribuye aproximadamente de forma normal con la media correcta y una varianza que desciende como $1/n$ : $$\bar X \sim N\left( E(X),\frac{\mathrm{Var}(X)}{n}\right).$$

La afirmación matemáticamente rigurosa para la que esto es un código es que $$ \frac{\sqrt{n}(\bar X-E(X))}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)}} \rightarrow_D N(0,1)$$ donde $\rightarrow_D$ denota la convergencia en la distribución.

Ahora su estimador del método de los momentos es una buena función de su media muestral. Resulta que una buena función de una variable asintóticamente normal es a su vez asintóticamente normal: $$ g(\bar X)\sim N\left(g(E(X)), \frac{\mathrm{Var}(X)(g'(E(X))^2}{n}\right)$$ (por razones que no entiendo esto se llama el "método delta" ).

Así que es sólo una cuestión de computación $E(X)$ y $\mathrm{Var}(X)$ para su distribución. Entonces, para la parte $a$ tienes $ \hat \theta = g(\bar X)$ donde $$g(x)=\frac{1-2x}{x-1},$$ por lo que sólo hay que calcular la derivada y luego introducir todo en la fórmula.

Para la MLE, es en términos de la media muestral de $\log(X_i)$ pero $\log(X_i)$ también sigue el teorema del límite central (sólo hay que calcular su media y varianza), por lo que también se puede aplicar el método delta para obtener una distribución asintótica para la MLE.